当中间数为 3 时，有 2×3＝6 种；
本 当中间数为 4 时，有 4×5＝20 种；
目 开
当中间数为 6 时，有 5×6＝30 种；
关 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 种；
当中间数为 8 时，有 7×8＝56 种；
当中间数为9时，有8×9＝72种．
内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________．(用数
本 字作答)
讲 栏
(2)(2013·浙江)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排，
目 开
且 A、B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有________种．(用
关 数字作答)
解析 (1)分三类：①选 1 名骨科医生，
则有 C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种)．
Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数．
(3)二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，
即 Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r，….
主干知识梳理
专题六 第1讲
n
②最大值：当
n
为偶数时，中间的一项的二项式系数 C
2 n
取得
n 1
最大值；当 n 为奇数时，中间的两项的二项式系数C n 2 ，
n 1
本 讲
C n 2 相等，且同时取得最大值．
栏
目 ③各二项式系数的和
开
关 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；
b．Cn0＋C2n＋…＋C2nr＋…＝C1n＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋… ＝12·2n＝2n－1.
当相同的数字是 1 时，共有 C13C13个，
由分类计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12 个．
答案 (1)96 (2)12
热点分类突破
专题六 第1讲
考点二 排列与组合
例 2 (1)(2013·重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生
中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和
本
讲 三个、四个、五个字母这 4 类计算，再考虑右侧情况．
栏
目 开
主干知识梳理
专题六 第1讲
(3)组合数的性质
①Cmn ＝Cnn－m；
②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
3．二项式定理
本 讲
(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Crnan－rbr
栏 目
＋…＋Cnnbn(r＝0,1,2，…，n)．
开 关
(2)二项展开式的通项
本 讲
公式是
A
m n
＝
n(n
－
1)(n
－
2)…(n
－
m
＋
1)
或
写
成
A
m n
＝
栏
n！
目 开
n－m！.
关 (2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素并成一
组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．从
n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 Cmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1或写成 Cmn ＝m！nn！ －m！.
开
关
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专题六 第1讲
(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和 本 C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________
讲
栏 种．
目
开 (2)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好
关
数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数 中，“好数”共有________个．
数为________．
热点分类突破
专题六 第1讲
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理的简
本 讲
单应用，解题的关键是合理分类，正确分步．
栏
目
开
关
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专题六 第1讲
解析 (1)无重复的三位数有：A39＋A21A29＝648 个． 则有重复数字的三位数有：900－648＝252 个． (2)分 8 类，当中间数为 2 时，有 1×2＝2 种；
本 讲 栏 目 开 关
专题六 第1讲
第 1 讲 排列与组合、二项式定理
【高考考情解读】
本 讲
高考中对两个计数原理、排列、组合往往通过实际问题进行综
栏 目
合考查，经常与概率问题相结合，出现在解答题中，难度中等；
开 关
对于二项式定理的考查，难度较小．
主干知识梳理
专题六 第1讲
1．分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类计数原
热点分类突破
专题六 第1讲
考点一 两个计数原理
例1 (1)(2013·山东改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有
本 讲
重复数字的三位数的个数为________．
栏 目
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称
开 关
这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．
答案 (1)252
(2)240
热点分类突破
专题六 第1讲
(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般
先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．
本 讲
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图
栏 目
或表格，使问题形象化、直观化．
本
讲 理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事
栏
目 件完成，则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘．
开 关
主干知识梳理
专题六 第1讲
2．排列与组合
(1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
②选 2 名骨科医生，则有 C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)；
③选 3 名骨科医生，则有 C33C14C15＝20(种)．
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专题六 第1讲
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 360＋210＋20＝590.
(2)分类讨论：A、B 都在 C 的左侧，且按 C 的左侧分别有两个、
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专题六 第1讲
解析 (1)首先安排 A 有 2 种方法；
第二步在剩余的 5 个位置选取相邻的两个排 B，C，有 4 种排
法，而 B，C 位置互换有 2 种方法；
本 讲
第三步安排剩余的 3 个程序，有 A33种排法，共有 2×4×2×A33
栏 目
＝96 种．
开 关
(2)当相同的数字不是 1 时，有 C31个；