n n! n C (n, r ) C r r !(n r )! r
例14 有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本 不同的中文书。 (1) 取2本不同文字的书； (2) 取2本相同文字的书； (3) 任取两本书。 (1) 5×7+5×10+7×10=155;
(2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76；
解1：标号可产生5!个14个元的全排列。 若设x为所求方案，则 x · 5!=14!。 故 x=14!/5!=726485760。
解2：在14个元的排列中先确定“1”的位置，有 C(14,5)种选择， 再确定车的位置，有9！种选择。 故 C(14,5)· 即为所求。 9!
解3：实际上相当于14个位置中选取9辆汽车的排列， 即为 P(14,9)。
(2) n=73*142，求除尽n的数的个数；
(1) 4×3×5＝60； (2) 6×3＝18 例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同 的奇数？ 个位数有5种取法，千位数有8种取法，百位，十 位各有8，7种取法。5×8×8×7＝2240。
例8 由a,b,c,d,e这5个字符，从中取6个构成字符串， 要求 (1) 第1，6个字符必为子音字符b，c，d；(2) 每个字符串必有两个母音字符a或e，且两个母音 字符不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 求满足这样的条件的字符串的个数。 由条件(1)，两个母音字符的位置不能在1，6， 又由条件(2)，位置只能是(2,4),(2,5)和(3,5)之一。 对每种格式，母音2×2，相邻子音3×2，其他两个 子音3×3。因此答案为 3×（2×2×3×2×3×3）=648。
乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。 集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则 | AB | = mn 。 例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则 从A经B到C有 32 = 6 条道路。 加法法则：得到事件通过两种不同的方法。 乘法法则：得到事件通过两个步骤。
例4 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的 颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选 黑、白，则共有 42 = 8 种着色方案。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜 色的话，则方案数就不是 4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。
例5 (1) 求小于10000的含1的正整数的个数； (2) 求小于10000的含0的正整数的个数。 (1) 小于10000的不含1的正整数可看做4位数，但 0000除外. 故有9×9×9×9－1＝6560个。 含1的有：9999－6560=3439个， 另：全部4位数有104个，不含1的四位数有94个， 含1的4位数为两个的差：104－94= 3439个。
20 ×6840=136800。
例12 A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成 一列合影要求B单位的3人排在一起，问有多少种 不同的排列方案。 B单位3人按一个元素参加排列，P(8,8)×P(3,3)。 接上例，若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3 人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？ A单位的人排法固定后A*A*A*A*A*A*A，B单位第 一人有6种选择，第二人有5种，第三人有4种，因 此答案为P(7,7)×6×5×4。
(2) C(4,2)×C(7,3)+C(4,3)×C(7,2)+C(4,4)×C(7,1)；
(3) C(10,5)+C(9,4)，或C (11,5)-C(9,3)。
例16 从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和 能被3整除，有多少种方案？ 将[1,300]分成3类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}。 要满足条件，有四种情形： 1. 3个数同属于A; 2. 3个数同属于B; 3. 3个数同属于C; 4. A,B,C各取一数。 故共有 3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例9 在64名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结 果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举 行几场比赛？ 一种常见的思路是按轮计场，费事。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对 应。63场比赛。
例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对 角线在多边形内交点的个数。 可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是 存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。 可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶 点。 可以证明这是一一映射（映射，单且满）。
例19 一个凸 n 边形，它的任何3条对角线都不交 于同一点，问它的所有对角线在凸 n 边形内部有 多少个交点。 注意到，每个交点只有两个对角线通过，对应了4个 顶点所组成的一个组合，不同的交点对应的组合也 不相同。
故共有C(n,4)个交点。
4. 圆周排列
定义：从 n 个不同的数中不重复的取出取出 r 个沿 一圆周排列，称为一个圆周排列。 所有的r-圆周排列数记为 Q(n,r)。 注意圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列首尾 相邻。 如a、b、c、d的4种不同排列 abcd, dabc, cdab, bcda, 在圆周排列中都是一个排列。
例11 由5种颜色的星状物，20种不同的花排列成如 下图案：两边是星状物，中间是3朵花，问共有多少 种这样的图案？ 两边是星状物，从五种颜色的星状物中取两个的排 列的排列数是 P(5,2)=20。 20种不同的花取3种排列的排列数是
P(20,3)=20 × 19 × 18=6840。
根据乘法法则得图案数为
从 n 个中取 r 个的圆周排列的排列数为： Q(n,r)=P(n,r)/r , Q(n,n)=(n-1)! 以4个元素为例
1
2 4 2
2≤r≤n
1
4 2
1 4 2 3 3412
1
4
3 1234
3 2341
2. 一一对应
“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概 念。一一对应既是单射又是满射。
如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非是建立了将A 中元与[1,n]元一一对应的关系。 在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换。 比如要对A集合计数，但直接计数有困难，于是可 设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。
(2)“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个 ，4位数有94个。 不含0小于10000的正整数有
9+9 +9 +9 =(9 －1)/(9－1)=7380
含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619.
2
3
4
5
例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数；
例17 假定有a1,a2,a3,a4,a5, a6, a7,a8这8位成员， 两两配对分成4组，试问有多少种方案？ 解1：a1选择其同伴有7种可能， 选定后,余下6人中某一人选择其同伴只有5种可能， 余下4人，其中某1人有3种选择可能， 在余下的2人只好配成一对，无法选择， 故共有 N=7×5×3=105。
排列与组合
1.1 排列与组合
1.2 排列组合的生成算法
1.3 组合意义的解释与应用举例
1.1 排列与组合
1. 加法法则和乘法法则 2. 一一对应 3. 排列、组合 4. 圆周排列 5. 可重排列 6. 可重组合
7. 不相邻的组合
1. 加法法则与乘法法则
加法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性 质B的事件有n个，则具有性质A或B的事件有 m+n个。
(3) 155+76=231=C(5+7+10,2)。
例15 甲和乙两单位共11个成员，其中甲单位7人， 乙单位4人，拟从中组成一个5人小组： (1) 要求包含乙单位恰好2人； (2) 要求至少包含乙单位2人； (3) 要求乙单位某一人与甲单位特定一人不能同时在 这个小组。 试求各有多少种方案。
(1) C(4,2)×C(7,3)；
例13 试求由{1,3,5,7}组成的所有不重复出现的整 数的总和。 这样的整数可以是1位数,2位数,3位数,4位数，若设
Si , i 1, 2,3, 4.
是 i 位数的总和，则
S=S1+S2+S3+S4,
于是我们只需要计算Si即可。 S1=1+3+5+7=16；
S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)= 480+48=528； S3=6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6(1+3+5+7) =9600+960+96=106543;6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10 +6(1+3+5+7)=96000+9600+960+96=106656； S=16+528+10656+106656=117856。
组合数学
钱 江 jqian104@ 北邮理学院
组合数学就是按照一定的规则来安排一些离散个 体的有关问题。其内容包括： 1、计数与枚举 排列、组合、母函数、递推关系、容斥原理、 Burnside引理、Polya定理 2、容斥原理和鸽巢原理
3、组合设计
4、组合算法和组合优化