又∵AQ OP,∴ AQ 平面OCD,线段AQ的长就是点 A
1 3 2
2
∵ OP
OD2DP2OA2AD2DP2
41
到平面OCD的距离
DP2
2
∴ AQ
OAgAP
OP
32
2，所以点B到平面OCD的距离为2
33
2
方法二 （向量法）
作AP CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系
2．方法一(综合法)
(1)取OB中点E，连接 ME ，NEQ ME‖ABA, B‖CD， ME‖CD又Q NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面 OCD
(2)Q CD‖AB,
∴MDC为异面直线AB与MD所成的角(或 其补角)
作AP CD于P,连接MP
∵ OA 平面AB C D ，∴ CD MP
2
y 2z 0
2
2x2y 2z
AN所成角的余弦值
1 3 2 uuur ( , , ), AN
2 2 2 uuur uuuur AN EM uuur uuuur AN EM
uuuur
EM
1uuur , AN
2
uuuur
EM
三、解答题：
1．（ 2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为 1的 菱形，
ABC,OA 底面ABCD,OA 2,M为OA的中点。4
A(0,0,0),
B(1,0,0), P(0,
22,0),
D(
2,2
2,2
,0), O(0,0, 2),M (0,0,1),N (1
42,42,0)
44
uuuur
(1)MN
2 2uuur 2uuur
(1 , , 1),OP (0, , 2),OD (
4 4 2
uuur
uuur
OCD的法向量为n (x,y,z),则ngOP 0, ngOD
Ⅰ）求异面直线 AB与MD所成角的大小；Ⅱ）求点 B到平面OCD的距离。
1．方法一（综合法）
（1）Q CD‖AB,
∴MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP
∵ OA
ADP
CD于P,连接MP
平面ABC D ，∴ CD
,∴ DP=2
42
MP
D
∵ MD
∴cos MDP
MA2AD22，
DP MD
uuur
uuur OB n2
∵OB (1,0, 2),∴d.
n3
所以点B到平面OCD的距离为2
3
O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
ABC,OA 底面ABCD,OA 2,M为OA的中点，4
Ⅰ）证明：直线MN‖平面 OCD；Ⅱ）求异面直线 AB与MD所成角的大小；Ⅲ）求点 B到平面OCD的距离。
∴AB与MD所成角的大小为
3
uuur2uuur
(2)∵ OP (0,2, 2),OD
∴设平面 OCD的法向量为n
(22,22
2)
uuur
(x, y,z),则ngOP
uuur
0, ngOD 0
2y 2z 0
2
22
x y 2z
22
取z2,解得n (0,4, 2)
uuru
设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n
CH 3,OH CH cos CHO 1，结合等边三角形与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，uuur
AN
则AN EM
uuur
AN
1uuur uuur uuuur
(AC AB ), EM
2
uuuur1uuur EM (AB AC)
2
故EM，
AN
1uuur
AC
2
uuur
AE
1
uuur
uuur
( AC
1, MDC
2
MDP3
所以
AB与MD所成角的大小为
3
２）∵ AB‖平面OCD∴,点A和点 B到平面 OCD的距离相等，连接OP,过点 A作AQ OP于点Q，
∵ AP
CD,OA CD ,∴ CD平面OAP,平面OAP,∴ AQ CD
OP,∴ AQ平面OCD,线段AQ的长就是点
∵ AQ又∵ AQ
A到平面OCD的距离
2
∵ ADP,∴ DP=
42
MDMA2AD22，
AP
DP 1
∴ cos MDP , MDC MDP
MD 2 3
所以AB与MD所成角的大小为
3
3）∵ AB‖平面OCD∴,点A和点B到平面OCD的距离相等，连接 OP,过点 A作AQ OP于点Q，∵ AP CD,OA CD ,∴ CD 平面OAP ,∴ AQ CD
空间向量与立体几何典型例题
一、选择题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， 内的射影为△ABC的中心，则
12
A．B．
33
1.解：C．由题意知三棱锥A1
23
(
32 A1O2
AB1
uuur uuur uuur
另解：设AB, AC, AA1为空间向量的一组基底，
AE)
2
uuur
uuuur
AN
EM
uuur
uuuur
AN
EM
1
2
1
6
另解：以 则点A(
O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
1,1,0),B(1,1,0),E( 1,1,0),C(0,0, 2)
12,22),N(12,21,22)
2 2 2 2 2
uuur
则AN
故EM，
(32,12,22),uEuMuur
O
A
M
D
P C
∵OP OD2DP2
OA2AD2DP2
411
322，AP
DP
2，所以点B到平面OCD的距离为
3
2
2g22
32
∴ AQOAOgPAP
B
C
y
(1)设AB与MD所成的角为uuur uuuur ∵ AB(1,0,0),MDuuur uuuur ABgMD∴cos uuur uuuur AB MD
uuur uuur
长度均为a，平面ABC的法向量为OA1AA1
A1Oa2AO2
a2
底面ABC所成角的正弦值为
uuur uuur uuur
uuur uuur
AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(
C．3
3
ABC为正四面体，
6
a
3
2
D．
3设棱长为a，则AB1
a)2
6 ,uAuBur1
AC,AB1AB AA131 1
二、填空题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，D的余弦值为3，
3
C AB
M，N分别是AC，BC的中点，则EM，
面角
AN所成角的余
1．
6．
1
.设AB 2，作CO
6
OH AB，则CH AB，
弦值等于
1.答案：
面ABDE，
CHO为二面角C AB
则AB1与底面ABC所成角的正弦值为
3
uuuur uuur
OA1AB1
uuur uuur
A1O AB1
A1在底面ABC
C)
3a，棱柱的高
即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与
uuur uuur uuur
AB, AC, AA1的两两间的夹角为6001uuur
AB
3
1uuuruuur uuur uuur