空间向量与立体几何典型例题一、选择题:1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( C )A.13D.231、解:C.由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体,设棱长为a ,则1AB =,棱柱的高13AO a ===(即点1B 到底面ABC 的距离),故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =、另解:设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底,1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为060长度均为a ,平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r211112,,33OA AB a OA AB ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r则1AB 与底面ABC所成角的正弦值为1111OA AB AO AB ⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r 、二、填空题:1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --M N ，分别就是AC BC ，的中点,则EM AN ，所成角的余弦值等于 61 . 1、答案:16、设2AB =,作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥,则CH AB ⊥,CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=,结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r另解:以O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,)222222M N ---,则31131(,,(,,),,2222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===u u u r u u u u r u u ur u u u u r u u u r u u u u r 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 、三、解答题:1.(2008安徽文)如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的 菱形,4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

(Ⅰ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅱ)求点B 到平面OCD 的距离。

1.方法一(综合法)(1)CD Q ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角(或其补角) 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==∵1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π(２)AB 平面∵∴‖OCD,点A 与点B 到平面OCD 的距离相等, 连接OP,过点A 作AQ OP ⊥ 于点Q,,,,AP CD OA CD CD OAP ⊥⊥⊥平面∵∴ ,AQ OAP AQ CD ⊂⊥平面∵∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就就是点A 到平面OCD 的距离2OP ====∵,2AP DP == 223OA AP AQ OP ===g ∴,所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,A B P DO M (1)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==-u u u r u u u u r ∵1cos ,23AB MD AB MD πθθ===⋅u u u r u u u u r g u u u ru u u u r ∴∴ ,∴AB 与MD 所成角的大小为3π (2) 2),(2)OP OD =-=-u u u r u u u r ∵ ∴设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD==u u u r uu u r gg 即 2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =解得(0,n =设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB uuu r在向量(0,n =上的投影的绝对值,(1,0,2)OB =-u u u r∵, 23OB n d n ⋅==u u u r∴、 所以点B 到平面OCD 的距离为232.(2008安徽理)如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形,4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点。

(Ⅰ)证明:直线MN OCD 平面‖;(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离。

2. 方法一(综合法)(1)取OB 中点E,连接ME,NEME CD ME CD ∴Q ，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴Q 平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖ (2)CD Q ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角(或其补角) 作,AP CD P ⊥于连接MP⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP,4ADP π∠=∵∴DP =MD == 1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π(3)AB 平面∵∴‖OCD,点A 与点B 到平面OCD 的距离相等,连接OP,过点A 作Bx yz N MA B D C O P AQ OP ⊥ 于点Q,,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴ 又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就就是点A 到平面OCD 的距离222221324122OP OD DP OA AD DP =-=+-=+-=∵,22AP DP ==22223322OA AP AQ OP ===gg ∴,所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244A B P D O M N --,(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MN OP OD =--=-=--u u u u r u u u r u u u r 设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ==u u u r u u gg 即 2202222022y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取2z =,解得(0,4,2)n = 22(1,,1)(0,4,2)0MN n =--=u u u u r g g ∵MN OCD ∴平面‖ (2)设AB 与MD 所成的角为θ,22(1,0,0),(,,1)22AB MD ==--u u u r u u u u r ∵ 1cos ,23AB MD AB MD πθθ===⋅u u u r u u u u r g u u u r u u u u r ∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB uuu r在向量(0,4,2)n =上的投影的绝对值,由 (1,0,2)OB =-u u u r , 得23OB n d n ⋅==u u u r、所以点B 到平面OCD 的距离为233.(2008北京文)如图,在三棱锥P -ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90°,AP =BP =AB ,PC ⊥AC 、(Ⅰ)求证:PC ⊥AB ;(Ⅱ)求二面角B -AP -C 的大小、3.解法一:(Ⅰ)取AB 中点D ,连结PD ,CD 、 ∵AP =BP ,∴PD ⊥AB 、 ∵AC =BC 、 ∴CD ⊥AB 、 ∵PD ∩CD ＝D 、 ∴AB ⊥平面PCD 、 ∵PC ⊂平面PCD , ∴PC ⊥AB 、(Ⅱ)∵AC =BC ,AP =BP , ∴△APC ≌△BPC 、 又PC ⊥AC , ∴PC ⊥BC 、又∠ACB ＝90°,即AC ⊥BC, 且AC ∩PC =C , ∴AB ＝BP , ∴BE ⊥AP 、∵EC 就是BE 在平面P AC 内的射影, ∴CE ⊥AP 、∴∠BEC 就是二面角B -AP-C 的平面角、 在△BCE 中,∠BCE =90°,BC=2,BE =623=AB , ∴sin ∠BEC =.36=BE BC ∴二面角B -AP -C 的大小为aresin.36解法二:(Ⅰ)∵AC =BC ,AP =BP , ∴△APC ≌△BPC 、 又PC ⊥AC 、 ∴PC ⊥BC 、 ∵AC ∩BC =C ,∴PC ⊥平面ABC 、 ∵AB ⊂平面ABC , ∴PC ⊥AB 、(Ⅱ)如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz 、 则C (0,0,0),A (0,2,0),B (2,0,0)、 设P (0,0,t ),∵｜PB ｜=｜AB ｜＝22, ∴t =2,P (0,0,2)、取AP 中点E ,连结BE ,CE 、∵｜AC ｜=｜PC ｜,｜AB ｜=｜BP ｜, ∴CE ⊥AP ,BE ⊥AP 、∴∠BEC 就是二面角B-AP -C 的平面角、 ∵E (0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(--=--=EB EC ∴cos ∠BEC =.33622=⋅=⋅EBEC ∴二面角B-AP-C 的大小为arccos.334.(2008北京理)如图,在三棱锥P ABC-中,2AC BC ==,90ACB ∠=o,AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面APB 的距离. 4.解法一:(Ⅰ)取AB 中点D ,连结PD CD ，. AP BP =Q , PD AB ∴⊥. AC BC =Q , CD AB ∴⊥. PD CD D =Q I , AB ∴⊥平面PCD . PC ⊂Q 平面PCD , PC AB ∴⊥.(Ⅱ)AC BC =Q ,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥.又90ACB ∠=o,即AC BC ⊥,且AC PC C =I , BC ∴⊥平面PAC .取AP 中点E .连结BE CE ，. AB BP =Q ,BE AP ∴⊥.EC Q 就是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥.BEC ∴∠就是二面角B AP C --的平面角.在BCE △中,90BCE ∠=o,2BC =,2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==. ∴二面角B AP C --的大小为arcsin3. (Ⅲ)由(Ⅰ)知AB ⊥平面PCD , ∴平面APB ⊥平面PCD . 过C 作CH PD ⊥,垂足为H . Q 平面APB I 平面PCD PD =, CH ∴⊥平面APB .CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离.由(Ⅰ)知PC AB ⊥,又PC AC ⊥,且AB AC A =I , PC ∴⊥平面ABC . CD ⊂Q 平面ABC , PC CD ∴⊥.在Rt PCD △中,12CD AB ==2PD PB ==2PC ∴==.3PC CD CH PD ∴==g . ACBDPACBE P ABDPH∴点C 到平面APB 的距离为233. 解法二:(Ⅰ)AC BC =Q ,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥. AC BC C =Q I , PC ∴⊥平面ABC . AB ⊂Q 平面ABC , PC AB ∴⊥.(Ⅱ)如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -. 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，. 设(00)P t ，，.22PB AB ==Q ,2t ∴=,(002)P ，，. 取AP 中点E ,连结BE CE ，. AC PC =Q ,AB BP =, CE AP ∴⊥,BE AP ⊥.BEC ∴∠就是二面角B AP C --的平面角.(011)E Q ，，,(011)EC =--u u u r ，，,(211)EB =--u u u r，，, 3cos 326EC EB BEC EC EB∴∠===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g . ∴二面角B AP C --的大小为3arccos3. (Ⅲ)AC BC PC ==Q ,C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ,且CH 的长为点C 到平面APB 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系C xyz -.2BH HE =u u u r u u u r Q ,∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，. 23CH ∴=u u u r .∴点C 到平面APB 的距离为23.5. (2008福建文) 如图,在四棱锥中,侧面PAD ⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD,AB ⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点。