? 关键要素 ? 差分格式 ? 解的稳定性 ? 吸收边界条件
? 特点 ? 广泛的应用性 ? 节约运算和存储空间 ? 适合并行计算 ? 计算程序的通用性 ? 简单直观，容易掌握
? 计算步骤 ? 采用一定的网格划分方式离散化场域； ? 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式， 得到差分方程组； ? 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
? 概况 ? 起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究，它的发展可 以追溯到Alexander Hrennikoff(1941) 和Richard Courant(1942) 的工作。 ? 核心思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。 ? 基于MOM 的电磁场计算软件：HFSS 、ANSYS。
? 特点 ? 频域矩量法比较成熟，时域矩量法有待发展； ? 矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少，在很大程度上影响 了计算的速度。
? 理论
? 在静电学中，在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为
V ?x, y, z??
1
4??
? ? v ?x', y', z'?dv'
v'
R
? 设 ? v ?x', y' z'?的一个解是
第四章 电磁算法及仿真
主要内容
? 电磁场数值算法 ? MOM 、FEM 、FDTD 、MRTD ? 电磁仿真软件 ? Maxwell 、CST 、HFSS
电磁场数值算法
小波基
加权余量法
边界积分法 内域积分法（伽略金法）
边界元法
矩量法
有限元法
快速算法
麦克斯韦方程组
时域多分辨分析法
时域有限差分法
有限差分法
? ?H y
? ?
?x
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?Hx ?y
?
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?Ez ?t
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Ez
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?H y ?t
? ? mHy
? ?Ey ?? ?x
?
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?
??
?H z ?t
??
mHz
? Yee元胞
? 计算方法
(i ? 1, j, k ? 1)
V1 ? ? 1V11 ? ? 2V12 ? ???? ? nV1n V2 ? ? 1V21 ? ? 2V22 ? ???? ? nV2n
?
? 亦即 V j ? ? 1V j1 ? ? 2V j2 ? ???? ? nV jn
?
Vn ? ? 1Vn1 ? ? 2Vn2 ? ???? ? nVnn
?V1 ? ?V11
Ex
Hz
(i, j, k ? 1)
Ey
Ey (i ? 1, j ? 1,k ? 1)
(i, j ? 1,k ? 1) Ez
Ez
Hx
z(k )
(i, j, k ) x(i)
Ey y( j)
Ez
Hy
(i ? 1, j ? 1,k)
Ex (i, j ? 1,k)
若已知t1=t0=nt时刻空间各处E的值
计算t2=t1+t/2时刻空间各处 H的值 计算t1=t2+nt/2时刻空间各处 E的值
时域积分方程法
矩量法 MOM (Method of Moment)
? 概况 ? R.F.Harrington 在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。 ? 核心思想：根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、 差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵 方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量。 ? 基于MOM 的电磁场计算软件：ADS的momentum ，Sonnet 等
时域有限差分法 FDTD (Finite-Difference Time Domain)
? 概况 ? 1966年K.S.Yee提出的； ? 核心思想：把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电 子脉冲和理想导体作用的时域响应； ? 是目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中 ? 基于FDTD的电磁场计算软件：XFDTD 等
V1 j
V1n ??? 1 ?
? ?? ? ? ? ? ? ??? ??
?? ?
?? ?
或
???V?j ??? ?
?V j1
? ?
?
?
V jj ?
?
V?jn ????????j ???
பைடு நூலகம்
??Vn ?? ??Vn1
Vnj
Vnn ????? n ??
有限元法
FEM (Finite Element Method )
? 原理
麦克斯韦方程组
????? ? ????
H ? ?D ? J ?t
E
?
?
?B ?t
?
Jm
?D ? ?E
本构关系式
? ?
B
? ?
J
? ?H ?? E
?? J m ? ? m H
? ?Hz
? ?
?y
?
?H y ?z
?
?
?Ex ?t
?
?
Ex
? ? ?
?H ?z
x
?
?Hz ?x
?
?
?Ey ?t
??
Ey
1 ?
4??
? i ? i ?x', y' z'?dv'
i?1
v'
R
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?
n
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i ?1
1
4??
? i x', y' z' dv'i
vi
R ji
?即
n
? V j ? ? iV ji i ?1
? 其中 Vji
?
1 4??
? i ?x', y' z'?dv'i
vi
R ji
i ? 1,2,???, n
? Yee采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节 点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来。
(i, j, k ) ? (i? x, j? y, k? z)
? 任意函数F(x, y, z, t)在时刻nΔt的值可以表示为
F n (i, j, k ) ? F (i? x, j? y, k? z, n? t)
? 原理 ? 将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函 数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数 及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题。
? 特点 ? 近似性仅限于相对小的子域； ? 将函数定义在简单几何形状的单元域上，不考虑整个定 义域的复杂边界条件。
n
? v ?x', y' z'?? ? 1?1 ?x', y' z'?? ? 2 ? 2 ?x', y' z'?? ???? ? n ? n ?x', y' z'?? ? ? i ? i ?x', y' z'? i ?1
? 将解带入电位函数中可得
n
? ? ? ? V j ? V x j, y j , z j