1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想； （2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点 定积分的概念二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（ ）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（ ）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（ ）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一 什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式. 问题探究二 定积分的几何意义．学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质 定积分的性质：（1）()()b ba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题 3．课堂总结 【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为 常 数 )（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关 答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6. 4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0.而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业 基础型 自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________． 答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)． 答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛01x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx . 答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型 师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p n p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】 令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________． 答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】 由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型 多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________． 答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N .自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（ ）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定 答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（ ）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对 答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（ ）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（ ）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x－4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________． 答案：f (x )＝65x ＋25解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】 如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2. 10．已知f (x )=错误！未找到引用源。