a
j 1 j
r
（j）
Ψa 带入到瑞利商中得到的
固有频率记作 ，导出：

R（Ψa）=
aT K a aT M a



2Leabharlann 3/8其中 r 阶方阵 K 和 M 定义为：


K = Ψ T KΨ M = Ψ T MΨ
瑞利商在系统的真实模态处取驻值。因此可利用 R（Ψa） 的驻值条件来确定待定系数
（j）
令
（j） A aj Ψa j 1 r
其中 Ψ 为 r 个假设模态构成的 n r 矩阵，a 为 r 个特定系统构成的列阵：
Ψ ((1) (2) ... ( n) ), a (a1 a２ ... an )T
假设模态矩阵 Ψ 的各列也称作里兹基矢量。 将A
里兹法
里兹法为瑞利法的改进。 用里兹法不仅可以计算系统的基频， 还可以算出系统的前几个 频率和模态。 里兹法基于瑞利法相同的原理， 但将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个 独立的假设模态的线性组合。 其基本思路是： 将无限自由度体系近似地用有限自由度体系来 代替，应用势能原理求得代用体系的精确解，从而求得原体系的近似解。 里兹法的具体做法是： 选择一组满足求解域位移边界条件的试函数作为实际问题的近似 解。显然，近似解的精度与试函数的选择有关，如果精确解包含在试函数族中，由里兹法将 得到精确解。 假设模态改进为若干个独立的假设模态 （j=1,2，...,r） 的线性组合。
二、 推导过程和算例
多自由度系统 瑞利法
讨论自由度为 n 的保守系统。设系统做某阶主振动，则系统的动能和势能为：
• 1 •T T X MX 2
V
1 T X KX 2
设解的形式为： X A sin( t ) ，带入到上式中，求出动能和势能的最大值为：
1 1 Tmax 2 A T MA ， Vmax A T KA 2 2
������ ������ = 0.3559√ ������ 相对误差为： | ������ − ������0 | = 84% ������0
评论：应用瑞利法能够非常简便的求出固有频率，但是求解的精度低，倘若运气不好地 选取的模态求瑞利商，所得结果可能与真实的固有频率相差很大（如上例） 。因此瑞利法更 多的仅仅只是碰运气的方法，我们没有足够的把握一次就得到比较精确的结果。 另外，瑞利法只能求一个频率，即基频，其原则就是尝试各种可能使得瑞利商的取值最 小，但并不能得到系统更高阶的频率，于是就有了下面的改进方法瑞利法。
(a T K a) 2 (α Τ Μ α ) 0 ( j 1, 2,..., r ) ，得到 r 个方程综合为： a j a j

(K 2 Μ)a 0
于是问题又归结为矩阵的本征值问题。但与原来系统的本征值问题比较，矩阵的阶数 r 小于 原系统的阶数 n。因此里兹法实质上起着使坐标缩并的作用，缩并后的本征值问题计算与原 系统类似，可导出 r 个固有频率和 r 个模态，此缩并后的模态同样具有正交性。由于满足瑞 利商的驻值条件，用里兹法计算模态比用瑞利法更为合理，但毕竟不是真实的模态，所导出 的固有频率仍然高于真实值。
A 是振幅矩阵，根据保守系统机械能守恒原理，最大动能与最大势能应该相等，则有以下固 有频率计算公式：
A T KA R( A) T 2 A MA
R（A）称为瑞利商。根据模态的定义有：
R(Φ(i) )
Φ(i)T KΦ(i) i 2 (i)T (i) Φ MΦ
任选一个列阵 作为假设模态，这不是实际模态，但是总能表示为简正模态的线性组合：
j Ψ a j N =ΦN a j n
其中，a 为系数 aj（j=1，2，…,n）组成的列阵。取 A= ，则有：
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R(Ψ)
a Φ KΦ N a a Λa = aT Φ MΦN a aT Ea
T
T N T N
T
a
j 1 2 j
n
2 j
a
j 1
n
2 j
这样得到的瑞利商不是系统的任一阶固有频率的平方， 但必介于系统的最高和最低的固有频
∗ 令������������������������ = ������ ������������������ ，并引入系统的参考动能������ ， ������������������������ 1 ������ ������ ∗ = 2 = ∫ ������������ (������)∅2 (������)������������ ������ 2 0 1 ������ 1 ������
1 0 0 M =m0 1 0 0 0 2 尝试用瑞利法求该振动系统的基频。
������ 取模态为������1 = 1 2 1, 求出瑞利商
2 −1 0 K = k −1 2 −1 0 −1 1
2/8
R(ω) = 0.4286 实际系统的基频为：
������ , ������
������ ������0 = 0.6547√ ������
连续介质系统
瑞利法： 连续系统的瑞利法是基于能量原理的假设模态法， 它是多自由度系统的瑞利法的推 广，且应用更为广泛。以梁的弯曲振动为例，设梁以某阶模态函数作频率为ω的自由振动 y(x, t) = ∅(x)sinωt 设系统为保守的，由于机械能守恒，动能与势能的最大值应相等。由 T 计算式和 V 计算式导 出 ������������������������ = ������2 ∫0 ������������ (������)∅2 (������)������������, ������ ������������(������)[∅′′ (������)]2 ������������ ������������������ = 2 ∫ 0 2
算例 2 依然使用前面的四自由度系统作为例子，写出质量矩阵和刚度矩阵
1 0 0 M =m0 1 0 0 0 2 2 −1 0 K = k −1 2 −1 0 −1 1
此次任取两个模态：
������ ������ ������1 = 1 2 1， ������2 =1 0 0
应用里兹法求固有频率
4/8
得到 ������ ������������������ ������ ∗ 2 此比值称作瑞利商。当∅(x)为准确的第 i 阶模态函数时，瑞利商即等于相应阶的本征值������������ 。 若∅(x)是某个试函数，它满足梁的几何边界条件，但不能满足动力学方程，则瑞利商计算产 生一个依赖于∅(x)的标量R(∅)。 又R(∅)必大于系统的基频， 因此可以利用瑞利上估计基频的 上界。实际计算时可选择梁的静变形函数，或选择条件相近的梁的精确解作为试函数。若梁 R(∅) =
结构动力学报告
--瑞利法和里兹法研究
陈水广 16213610
一、 瑞利法和里兹法简介
弹性系统振动问题归结为对系统的刚度矩阵和质量矩阵的研究。然而，从微分方程出发， 研究弹性体的振动，除了一些简单的情况以外，要精确求解往往是不可能的，而工程中遇到 的实际结构总是比较复杂， 因此近似解法占有很重要的地位。 通过对截止模态的研究发现对 低频率固有频率的研究具有重要的意义， 这对工程实践具有重要意义。 瑞利法和里兹法基于 能量守恒原理，可以用来计算振动系统固有频率的的近似值。
5/8
∗ 上有集中质量和弹性支承，则最大势能������ ������������������ 和参考动能������ 相应地改写为 1 ������ ������ = (∫ ������������(������) [∅′′ (������)]2 ������������ + ������1 [∅′ (������������ )]2 + ������2 ∅2(������������ )) ������������������ 2 0
（k) 2 率的平方 1 和 n 之间： 12 R（Ψ） ，若恰当选择系数使假设模态接近 Φ ，其中 n
2 2
除 a k 以外的其他系数 a j （j k）均为小量，令
a j = ja（ k j=1，...,k-1,k+1,...,n）
带入到瑞利商中可以得到：
n
2 2 R（Ψ） =k + （ j2 -k ） j2 j=1
2 2
取极小值。因此利用瑞利商估计系统的基频 1 所得的结果必为实际频率的上限。计算中使
2
用的假设模态愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。从物理意义上理解，假设模 态相当于对实际系统增加了约束，使系统的刚度提高，因此基频随之提高。
算例 1：
用瑞利
法求 3 自由度系统的基频。其中������1 = m, ������2 = ������, ������3 = 2������, ������1 = ������, ������2 = ������, ������3 = ������ 解: 写出质量矩阵和刚度矩阵
利用二次其次函数的特点，有：
α Τ α Τ (aT K a) 2( ) K α, (aT Μ a) 2( )Μα a j a j a j a j
（a 其中
T
a j ）=e jT ( j 1, 2 , .n. . ,， ) , r 阶单位阵的第 j 列，将上式带入到 为
������ ∗ =
������������������������ 1 ������ = (∫ ������������ (������)∅2 (������) ������������ + ������������ ∅2 (������������ )) ������ 2 2 0


a j ( j 1, 2,..., r ),
R 0 ( j 1, 2,..., n) a j