pk A,
k 0
qk B
k 0
pk qk pkql cn AB
k 0
k 0
k0 l0
n0
n
cn pk qnk
k 0
三、函数项级数 1、概念与收敛判据
wk (z) w1(z) w2 (z) wk (z)
k 1
设 wk (z) (k 1, 2, 3, ) 是 z 平面上某区
1、比值判别法（达朗贝尔判别法）
| ak || (z z0 ) |k | a0 | | a1 || (z z0 ) | | a2 || (z z0 )2 |
k 0
(3.2.2)
按比值判别法（达朗贝尔判别法）
若
lim
k
|
ak 1 | ak
|| ||
z z
z0 z0
|k 1 |k
lim ak1 k ak
|k 1 |k
lim ak1 k ak
R
1
级数发散
即： | z z0 | R 收敛
| z z0 | R 发散
z0
收敛
CR
R 发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
2、根式判别法：
若
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
1（（33..22..21） ）收 绝敛对，收敛
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
k n1
——为-N语言叙 述的极限定义！
式中 p 为任意正整数。N一般随 z 不同而不同，
但如果对任给小正数 > 0, 存在与 z 无关的N(),
使得 n > N() 时，上式成立，便说
wk (z)
在 B 内一致收敛。
k 1
2、一致收敛级数的性质
记级数和为 w(z)
（1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一 项 wk (z) 都是 B 内的连续函数，则级数的和
w(z) 也是 B 内的连续函数。
（2）逐项求积分 在曲线 l 上一致收敛的级数， 如果级数的每一项 wk (z) 都是 l 上的连续函数， 则级数的和 w(z) 也是 l 上的连续函数，而且 级数可沿 l 逐项求积分。
l w(z)dz l wk (z) dz l wk (z)dz
k 1
k 1
第三章 幂级数展开
意义：1. 利用级数计算函数的近似值； 2. 级数法求解微分方程； 3. 以级数作为函数的定义； 4. 研究奇点附近函数的性质。
§3.1 复数项级数
一、复级数概念
wk w1 w2 wk ,
k 1
wk uk ivk
(3.1.1)
原级数成为
wk uk ivk uk i vk
（3）逐项求导数（外氏－Weierstrass 定理）
设级数 wk (z) 在 B 中一致收敛，wk (z) (k 0,1,2, ) k 1
在 B 中单值解析，则级数的和 w(z) 也是 B
中的单值解析函数，w( z )
的各阶导数可由
wk (z)
逐项求导数得到，即：
k 1
w(n) (z) wk(n) (z)
mk
收敛，则 wk (z) 在区域 B (或曲线 l
)上
k 1
k 1
绝对且一致收敛。
§3.2 幂级数 一、定义
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 , (3.2.1)
k 0
其中 z0，a0，a1，a2， 为复常数。 这样
的级数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性
k 1
且最后的级数 wk(n) (z) 在 B 内的任意一个区
k 1
域中一致收敛。
3、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法，
或优级数判别法，或M判别法
若对于某区域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 函
数项级数
wk (z)
各项的模
k 1
| wk (z) | mk ,
（ mk 是与 z 无关的正数)，而正的常数项级数
k 1
k 1
k 1
k 1
这样复级数 wk 归结为两个实级数 uk ， vk
k 1
k 1
k 1
实级数的一些性质可移用于复级数。
二、收敛性问题
1、收敛定义：
n
部分和 An wk , n 1,2, 3, 于 n 有确定
k 1
的极限，便称级数收敛；极限不存在或 lim n
An
，
便称级数发散。
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
域
B中的单值解析函数。如果函数项
wk
(
z)
k 1
在 B 中（或某曲线 l 上）所有点上都收敛， 则说级数在B中（或某曲线 l 上）收敛。
柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对B内每点 z，任给小正数 > 0, 必有 N(, z) 存在，使得当 n > N(, z) 时，
n p
wk (z)
k
k 1
n tk 1 t t2 tn 1 tn1 ,
k 0
1 t
| t | 1, 若
则 lim n tk 1 tn1 1 ,
n k0
1t 1t
对于任给的小正数 ，必有 N 存在，使得 n > N 时，
n p
wk ,
k n1
Hale Waihona Puke 式中 p 为任意正整数。——为-N语言叙 述的极限定义！
3、绝对收敛级数
若
| wk |
uk2 vk2
收敛，则
wk
k 1
k 1
k 1
绝对收敛。
a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变；
b. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数 和之积。
| z z0 | 1,
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。 引入记号 R lim ak
a k k 1
则即：若
|
z
z0
|
lim
k
ak ak 1
R ，则（3.2.1)
绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
lim | ak1 k | ak
|| z || z
z0 z0
1
级数发散
R lim 1 k k ak
(收敛半径的另一公式)
z0
收敛
CR
R 发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛
作 CR1 (R1 R)
在 | z z0 | R1
有 | ak (z z0 )k || ak | R1k
对 | ak | R1k 应用比值判别法
k 0
CR
R1 z0
CR1
R
收敛
发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
有
lim
|
ak 1
k | ak
| R1k1 | R1k
lim ak1 k ak
R1
R1 R
1
幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！
三、例题
例1 求 1 t t2 tk 的收敛圆。t 为复数
解：R lim ak lim 1 1.
a 1 k