的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
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z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
2j
X(z)zn1dz,
c
c(Rx,Rx)
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
j Im[z]
R x
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0
Re[ z ]
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为 0 z Rx ;
R
x
为最大收敛半径
.
故收敛域 0为 z Rx
j Im[z]
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Re[ z ]
z Rx
(5)双边序列
x（n）
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序
列，即左边序列和右边序列之和。
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
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3.1 Z变换
3.1.1 Z变换的定义及其收敛域
一.Z变换定义及推导：
xs(t)x(t)T(t)
xs(t)x(nT)(tnT) n
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对抽样信号进行拉氏变换得：
X ˆa (s) L T [x ˆa (t)] x (n T )(t n T )e std t n x(nT) (tnT)esnTdt n
x(nT)esnT n
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令z esT
得 X(z) x(nT)zn n
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X(z) x(n)zn n
序列x(n)的 Z变换
若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n<0 则有
X(z) x(n)zn n0 序列x(n)的 单边Z变换
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二.收敛域
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
考虑 x(n)到 是有界的 zn ， ， 必 n1n 有 n2;
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因此，当n0时， zn 1/ zn,只要z0，则zn 0 同样，当n0时， zn zn ,只要z，则zn 当n10,n20,则0zn
j Im[z]
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Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
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Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为： Rx z
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(4)左边序列
x(n)
x(n), x(n) 0,
nn2 nn2
0 nn 2
n2
X(z) x(n)zn n
0
n2
x(n)zn x(n)zn
n
n1
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第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
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第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;
Rx-为最小收敛半径。
j Im[z]
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收敛域
Re[ z ]
R x
因果序列（一定条件下的右边序列）
x(n), n0 x(n)0, n0
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信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
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二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
R x
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
在n1n2的特殊选择下，收敛域扩大
n10收敛域0 z ， n20收敛域0 z＜
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（3）. 右边序列
x(n)
x(n), x(n)0,
nn1 nn1
.. n1 0 1
...
n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
q az1,
S
a1 1q
1 1az1
z。 z a
z a为极点，在z圆 a外，
X(z)为解析函数，故收敛。
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收敛域：z a
j Im[z]
0a
Re[ z ]
z
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
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例: 求序列 x(n)bnu(n1) 变换及收敛域
。
1
x(n) bnu(n1)zn bnzn bnzn
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域. 2.收敛条件：
X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即：x(n)zn M n
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三.不同形式序列的收敛域 (1).预备知识
阿贝尔定理:
如果级数 x(n) z n ，在 zz(0)
收敛,那么,满足n0≤0 |z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
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n
n0
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx 第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx 当Rx-<Rx+时，其收敛域为 Rx z Rx
j Im[z]
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Re[ z ]
R x R x
例：求序列 x(n)(n)的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1 n2 0时的有限长序列，
n
nห้องสมุดไป่ตู้
n1
b1z(b1z)2(b1z)n
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
2020/6*/11收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
3.1.2 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
Z[(n)] (n)ZnZ01 n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
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例: 求序列 x(n)anu(n) 的Z变换及收敛域。
解：
X(z) anu(n)zn anzn (a z1)n
n
n0
n0
1a z1(a z1)2(a z1)n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。