专题一 探索规律问题
类型一 数式规律
这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是抓“变”和“不变”，找出“变”和“不变”部分对应的关系，进而得到一般性的结论．
(2017·黄石)观察下列各式： 11×2＝1－12＝12； 11×2＋12×3＝1－12＋12－13＝23
； 11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34
； …
请按上述规律，写出第n(n 为正整数)个式子的计算结果_____．
分析 先分析给出的三个等式的结果与n 的关系，从而写出第n 个式子的计算结果．
1．(2017·百色)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是( )
A ．－121
B ．－100
C ．100
D ．121
2．(2017·郴州)已知a 1＝－32，a 2＝55，a 3＝－710，a 4＝917，a 5＝－1126
，…，则a 8＝_____． 3．(2016·南宁)观察下列等式：
第1层 1＋2＝3
第2层 4＋5＋6＝7＋8
第3层 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15
第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋＋23＋24
…
在上述数字宝塔中，从上往下数，2 016在第类型层．
类型二 图形变化规律
这类题型一般是给出一组排列的图形，探索图形的变化规律或图形蕴含的数量关系．解答这类问题，首先要观察图形的变化趋势，即是增加还是减少；然后从第一个图形的构成元素开始分析，寻找其中的变化规律或蕴含的数量关系，归纳出结论后，再验证其正确性．
(2017·黑龙江)观察下列图形，第1个图形中有1个三角形；第2个图形中有5个三角形；第3个图形中有9个三角形；…；则第2 017个图形中有_____个三角形．
分析 结合图形数出前三个图形中三角形的个数，找出规律，然后写出第2 017个图形中三角形的个数．
4．(2017·连云港)如图，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点
A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…；按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是( )
A．4 B．2 3 C．2 D．0
5．(2017·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中图①中一共有3个菱形，图②中一共有7个菱形，图③中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，图⑨中菱形的个数为( )
A．73 B．81 C．91 D．109 6．(2016·内江)将一些半径相同的小圆圈按如图所示的规律摆放，请仔细观察，图n中有___________个小圆圈．(用含n的代数式表示)
类型三点的坐标规律
这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．
如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 017次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )
A．(1，4) B．(3，0) C．(6，4) D．(8，3)
分析根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2 017除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
7．如图，在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(2，0)，△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，…以此
类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 2 017的坐标为__________．
8．(2017·菏泽)如图，AB⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－
33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33
x 上，依次进行下去…，若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__________．
9．(2016·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA
＝2，OC ＝1.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32
倍，得到矩形A 1OC 1B 1，再将矩形A 1OC 1B 1以原点O 为位似中心放大32
倍，得到矩形A 2OC 2B 2，…，依此类推，得到的矩形A n OB n 的对角线交点的坐标为______________．
参考答案
例1 n ＝1时，结果为11＋1＝12；n ＝2时，结果为22＋1＝23；n ＝3时，结果为33＋1＝34
，故第n 个式子的结果为n n ＋1.故答案为n n ＋1
. 变式训练
1．B2.1765
3.44 例2 第1个图形中，三角形的个数是1；
第2个图形中，三角形的个数是1＋4＝5；
第3个图形中，三角形的个数是1＋4＋4＝9；
…
第n 个图形中，三角形的个数是1＋4(n －1)＝4n －3.
当n ＝2 017时，4n －3＝8 065.故答案为8 065.
变式训练
4．A5.C6.n2＋n＋4
例3如图，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3).
∵2 017÷6＝336……1，
∴当点P第2 017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，此时点P的坐标为(3，0)．故选B.
变式训练
7．(4 033，1)8.9＋339.(－3n
2n
，
3n
2n＋1
)。