概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用姓名：学号：专业：电子信息工程摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。

概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。

本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。

关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式基本知识§1.1 概率的重要性质1.1.1定义设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。

概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）1.1.2 概率的一些重要性质（i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§1.2 随机变量的数字特征1.2.1 数学期望设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{，k=1,2，…若级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k kp x的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑=ik k p x X E )(设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分⎰∞∞-dx x xf )(绝对收敛，则称积分⎰∞∞-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)（1）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若k k kp x g ∑∞=1(）绝对收敛则有=)Y (E =))((X g E kk kp x g ∑∞=1(）（2）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若⎰∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛则有=)Y (E =))((X g E ⎰∞∞-dx x f x g )()(数学期望的几个重要性质 (1)设C 是常数，则有C C E =)(;(2)设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E =; (3)设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+； (4)设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =.1.2.2 方差定义 设X 是一个随机变量，若[]})({2X E X E -存在，则称[]})({2X E X E -为X 的方差，记为D （x ）即D （x ）=[]})({2X E X E -，在应用上还引入量)(x D ，记为)(x σ，称为标准差或均方差。

222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=方差的几个重要性质(1)设C 是常数，则有 ,0)(=C D(2)设X 是随机变量，C 是常数，则有)(C )(2X D CX D =，D(X))(=+C X D ;(3)设X,Y 是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别，若X,Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+;(4)0)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即1)}({==X E X P .切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望2)(σ=X E ，则对于任意正数ε，不等式22}-X P{εσεμ≤≥成立§1.3 点估计1.3.1 矩估计用矩法求估计很古老的估计方法，是建立在独立同分布情形下的大数定律（样本均值趋向总体平均），它由K .Pearson 在20世纪初提出，其中心思想就是用样本矩去估计总体矩。

总体X 分布函数的未知参数为12(,,,),Tm θθθθ=⋅⋅⋅如果总体的k 阶原点矩12()(,,,),1,2,,k k m E X k m αθθθ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅存在，我们设总体的k 阶原点矩与它的样本的k 阶原点矩相等11,1,2,,n kk i i A X k m n ===⋅⋅⋅∑即1211(,,,)(),1,2,,nkk k m i k i E X X A k m n αθθθ=⋅⋅⋅====⋅⋅⋅∑从上面式子可得到关于未知量θ的解12ˆˆ(,,,),1,2,,i n X X X i m θθ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，取12ˆˆˆˆ(,,,)T m θθθθ=⋅⋅⋅作为12(,,,)T m θθθθ=⋅⋅⋅的估计，就称ˆθ为θ的矩估计。

关键要掌握两个式子（设总体的均值为μ，方差为2σ，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本）：可得总体X 的一阶，二阶原点矩为122222=E(X)=,()()[()],E X D X E X αμασμ⎧⎨==+=+⎩ 而样本的一阶，二阶原点矩为2121111,n ni i i i A X X A X n n =====∑∑由此可得到22211,ni i X X n μσμ==+=∑，所以ˆX μ=，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差2S ，而是221ˆn S nσ-=，矩估计为211()1n i i X X n =--∑。

当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a 、涉及到矩的阶数尽量小， 对总体X 的要求也尽量少； 比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数；b 、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。

矩估计的两个基本特点是1、由于矩估计是基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的；2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时，本质上是一种非参数方法，对已知的总体分布，它不一定是一个好的估计。

1.3.2 极大似然估计极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。

该方法在1821年由德国数学家Gauss 提出的，但并没有得到重视，在1922年R.A.Fisher 再次提出，并探讨研究了它的性质。

它利用总体分布函数的相关信息，克服矩估计的一些不足。

总体X 的分布律或概率密度函数为(;),f x θθ∈Θ是未知参数，其中总体的样本是12,,,n X X X ⋅⋅⋅，则121(;)(;,,,)(;)nn ii L x L x x x f x θθθ==⋅⋅⋅=∏为θ的似然函数。

若统计量12ˆˆˆ()(,,,)nX X X X θθθ==⋅⋅⋅满足条件 ˆ(();)sup (;),L X X L x θθθ∈Θ= ˆˆ()()()()min Y X Y X Y X Y X βββββ''--=--则称ˆ()X θ为θ的极大似然估计。

极大似然法有许多优良的性质：相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。

可以计算一些比较复杂的点估计。

尽管如此，极大似然也有它的局限性，比如说：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的，以及任何统计推断都应该依赖损失函数，但是极大似然方法没有考虑到损失函数。

§1.4贝叶斯公式设n B B B ...,21是一系列互不相容的事件，且有Ω== ni iB1, ....2,1,0)(n i B P i =>则对任一事件A ，有 )()()()()(1jnj ji i i B A P B P B A P B P A B P ∑==， ....2,1n i =)(i B P 叫先验概率，也叫边缘概率，)(A B P i 叫后验概率（....2,1n i =）。

§1.5 中心极限定理1.5.1林德伯格定理设独立随机变量 n X X X ,,,21满足林德伯格条件，对于任意的正数ε,有∑⎰=-∞→=-ni s x i i nn ni dx x f x S 1220)()(1lim εμμ＞。

其中)(x f i 是随机变量i X 的概率密度,则当∞→n 时,我们有dt ez Z P zt n n ⎰∞--∞→=≤2221)(lim π即dt ez s XP zt nni i in ⎰∑∞--=∞→=≤-21221))((lim πμ其中z 是任何实数。

1.5.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设在独立试验序列中,事件A 在各次试验中发生的概率为)10(＜＜p p ,随机变量n Y 表示事件A 在n 次试验中发生的次数,则有dt e z p np np Y P z tn n ⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--2221)1(lim π,其中z 是任何实数。

§1.6随机变量及其分布1.6.1随机变量设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量1.6.2离散性随机变量及其分布律(1) 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。

k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞=1k k P =1三种重要的离散型随机变量设离散型随机变量的分布律为)1()1(}{K KP P K X P --==,其中K =0、1，P 为k =1时的概率(0<p <1)，则称X 服从（0-1）分布 （2）伯努利实验、二项分布设实验E 只有两个可能结果：A 与—A ，则称E 为伯努利实验.设1)p 0p P(A)<<=（，此时p -1)A P(=—.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。