y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) ( t )
f (t )
H(p) Hf(p)
y f (t ) y f (t )
求零状态响应 求冲激响应
(t )
H(p)
于是，f(t)的零状态响应可以理解为两个系统串联后的冲激响应：
y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) (t )
例：求信号 f ( t ) e at u( t )通过一个H ( p) 1 的系统产生的零状态响 应y f ( t ). pb
例：已知系统
( p 2 5 p 6) y( t ) pf ( t ) ,
f ( t ) u( t ) 。求y f ( t ).
补充内容
进一步分析冲激响应h(t)的意义：冲激响应可以表示一个系统。
[ f1 ( t ) f2 ( t )]H ( p) f1 ( t ) H ( p) f2 ( t ) H ( p)
f 1 (t ) f 2 (t )
f 1 (t ) f 2 (t )
h(t)
y f (t )
h(t) + h(t)
y f (t )
例：求如图所示系统的 冲激响应，其中 h1 ( t ) u( t ), h2 ( t ) ( t 1) , h3 ( t ) ( t )
0- 0 0+
1 h( t ) ( t ) e at u( t ) pa
1 ( t ) e at u( t ) pa
1 ( p a)
2
( t ) te u( t )
at
1 t 2 at ( t ) e u( t ) 2 ( p a)3
h( t )
( t ) h( t )
(t i ) h(t i )
f( i ) i (t i ) f( i ) i h(t i )
根据可加性性：
当 i 0 时：

f( i ) i ( t i )

i

i
f( i ) i h( t i )
t0
1 t 1 t y( t ) ae e e ,
当 2, 3时， 1 1 y( t ) ae 2t e 2t e 3t 5 5
自然响应
强迫响应
瞬态响应 稳态响应
作业：
2.28、2.29、2.34
练习： 2.27、2.30、2.31、2.32、2.33
零输入响应
y( t ) ae t
零状态响应
1 1 e t e t , t0
自然响应
强迫响应
三 瞬态响应与稳态响应 瞬态响应：t时趋于零的那部分响应（即随t的增加而衰减 并最终完全消失）。 稳态响应： t时能保留下来的那部分响应。 零输入响应
t
零状态响应
§2.8 系统响应模式分析
一 系统全响应
系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。 二 自然响应与强迫响应 自然响应(固有响应)：由系统特征根决定的那部分响应。 强迫响应：由输入信号决定的那部分响应。
例： 系统y' ( t ) y( t ) f ( t ), 输入信号 f ( t ) e t u( t ), ， 初始状态 y(0 ) a , 求全响应。
第二章第五次课
复习
单位冲激响应h(t)
1. 什么是冲激响应？ 初始状态为零，输入为(t)时的响应。 2. 为什么研究冲激响应？
系统的冲激响应可以表征系统本身的特性。 系统的冲激响应为求解零状态响应提供了方法。
3. 如何求冲激响应？
(1)在(0 ,)区间，按零输入响应的 求解方法来确定响应模 式； ( 2)在(0 ,0 )区间，h( t )中可能包含 ( t )及高阶导数项，用冲激 平衡法。
(t )
Hf(p)
f (t )
1 (t ) p-a

(t )
1 H f ( p) p-a
e at u(t )
三 yf(t)的求解 方法1： y f (t ) f (t ) * h(t ) f ( )h(t )d 即利用求卷积的方法来求零状态响应。 方法2： y (t ) f (t ) * h(t ) (t ) * f (t ) * h(t ) (t ) * [ f (t ) * h(t )] f
① 因果系统
h( t ) 0, t 0

因果系统的零状态响应 ： y f ( t ) 0 h( ) f ( t )d
② 稳定系统

对任意的有界输入，输出都有界。
h(t ) dt ，即冲激响应绝对可积 。
注意：h(t)绝对可积≠h(t)有界
例如：理想积分器是非稳定系统。
b at ( t ) e sin( bt )u( t ) 2 2 ( p a) b
h( t )
pa at ( t ) e cos(bt )u( t ) 2 2 ( p a) b
求h(t)的传输算子法：将H(p)进行部分分式展开。
§2.7 零状态响应
一 初步分析 冲激响应h(t)： 系统初始状态 为零，输入为(t)时的响应。 零状态响应yf(t)：系统初始状态 为零，输入为f(t)时的响应。 yf(t)与h(t)如何发生关系？ f(t)与(t)如何发生关系？ 系统冲激响应为h(t)，即 根据时不变性： 根据齐次性：
y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) ( t )
f (t )
H(p) Hf(p)
y f (t ) y f (t )
求零状态响应 求冲激响应
(t )
H(p)
方法2： y (t ) f (t ) * h(t ) (t ) * f (t ) * h(t ) (t ) * [ f (t ) * h(t )] f
求冲激响应h(t)
求零状态响应
f(t)的零状态响应可以理解为两个系统串联后的冲激 响应，即：
y f (t ) f (t ) * h(t )
y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) ( t )
求全响应y(t ) y x (t ) y f (t )
-
f( ) (t )d



-
f( )h( t )d
f (t )
y f ( t ) f(t) * h(t)
二 结论及意义
y f ( t ) f ( t ) * h( t )
1. 系统描述方法
微分方程
输入和输出之间的隐性关系
y f ( t ) H ( p) f ( t )
(t )
1 p
h( t )
③ 无记忆系统 系统响应只与当前时刻的输入有关。
h( t ) c ( t )
卷积代数性质的物理意义
交换率：f (t ) * h(t ) h(t ) * f (t )
f (t )
H(p)
y f (t )
h( t )
Hf(p)
y f (t )
结合率： [ f (t ) * h1 (t )] * h2 (t ) f (t ) * [h1 (t ) * h2 (t )] [ f (t ) * h2 (t )] * h1 (t )
t
例：求RC电路的阶跃响应s(t)。
R
+
+
u(t) 1 t
f(t)
-
i(t )
C
y( t )
－
s( t )
1 t RC (1 e )u( t )
s(t)
1
阶跃响应反应了系统的快速响应能力。
t
1. 特征根全部为单根， i j , i j ,
LTI系统分析思路
i , j 1, 2,..., n.
e at u(t )
1 f ( t ) e u( t ) (t ) p-a
at
(t )
1 H f ( p) p-a
任何信号f(t)都可以看作是某个冲激响应为f(t)的系统的冲激响应。
( t ) * f ( t )＝f ( t )
例如：f ( t ) e at u( t )
(tt)) f(ຫໍສະໝຸດ h1(t) (t ) * h1 (t )
h2(t) h1(t) h3(t) +
h y ((tt))
(t ) * h2 (t ) * h1 (t ) * h3 (t )
阶跃响应s(t)：输入为阶跃信号u(t)时的零状态响应。
s( t ) u( t ) * h( t ) h( )d 0 h( t )d 1 s( t ) H ( p ) ( t ) p
f (t )
f (t )
h1(t) h2(t)
h2(t) h1(t)
y f (t )
y f (t )
H1 ( p) H 2 ( p) f ( t ) H 2 ( p) H1 ( p) f ( t )
f (t )
y f (t )
h1(t)*h2(t)
分配率： [ f 1 (t ) f 2 (t )] * h(t ) f 1 (t ) * h(t ) f 2 (t ) * h(t )
y x ( t ) k1e 1 t k2 e 2 t ... kn e n t , t 0 再根据初始条件，确定 系数k1 , k2 ,..., kn 系 2. 特征根有r个重根 0， 这r个重根对应的响应模式 为： 求转移算子H(p) 建立系统的微分方程 h( t ), 用传输算子法：把 H(p) 进行部分分式展开： 统 求冲激响应 0 t r 1 0 t 0t k1 e k 2 te ... k r t e 1 1 1 t 2 at at at 3. 特征根有成对的共轭复 i 'u ( t ) e u( t ) 根 i ( tj) te (t ) i j i , 对应的响应模式为： ( t ) e u( t ) i , 2i 3 pa 2 ( p a) ( p a) it e [k1 cos( i t ) k1 ' sin( i t )] b pa at at 求特征根 ( t ) e sin( bt ) u ( t ) ( t ) e cos(bt ) u( t ) 求零输入响应 y x (t ) ( p a) 2 b 2 ( p a) 2 b 2