M u xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
其中常数 , u0, v0表示刚体位移，由约束条件求得。
2. 位移边界条件的利用
M u xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
M
O
x
l
A
M
y
(1)两端简支
约束条件是
0 0, v x 0 0, x l 0. u xy v 0 y 0 y 0
u0 0
v0 0
Ml 2 EI
M l 简支梁的位 u x y, 移分量： EI 2
M μM 2 l x x v y (3-3) 2 EI 2 EI
积分函 数，不 是积分 常数！
由
v M y, y E。
v u 由 0 x y
移项得：
df1(y) Mx df 2(x) dy EI dx
仅为x 的函数
仅为y 的函数 于是得： 积分：
代 入
代 入
得位移分量
(v ) y 0 M (l x ) 2 2 EI
与材料力学结 果相同。
3. 对结果的讨论
铅直线的转角
u M x y EI
当 x = x0 =常数
M u xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
O
P P' B A
x
M x0 常数 EI
y

B'

A'
说明： 同一截面上的各铅 垂线段转角相同。
横截面保持平面
—— 材料力学中“截面 保持平面”的假设成立。
求梁的各纵向纤维的曲率： u M xy y u0 ,
1 2v 2 ρ x
EI M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
σ x x0 dy FN
联立解(a)(b), 得
2 Fs D 3 h

3FS FN A ,B , 2h 2h 2 FN 2 Fs C 3 ,D 3 h h
3.了解简支梁受均布荷载的求解方法
4.了解楔形体受重力和液体压力的求解方法
x q l
补充作业1
ql 6
o
h/2
h/2
ql 3
x
y
l
(h l , 1)
图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布 荷载。试用下列应力函数求解应力分量。（体力不 计）
Φ Ax3 y 3 Bxy 5 Cx3 y Dxy Ex Fxy
3 3
Φ Ax 3 y 3 Bxy 5 Cx 3 y
解：半逆解法。
(1)检验 (x, y) 是否满足相容方程
4 4 4 4 2 2 2 0 4 x x y y 4
Dxy 3 Ex 3 Fxy
5 72 A 120 B 0, 得A B 3 由此，得
(2) 位移分量 由几何方程求位移
M M x y, y y , xy 0 EI EI
u x , x
u M y, x EI u M y, x EI
v y , y
v M y, y EI
xy
u v y x
v u 0 x y

自然满足
σx 0
——无法精确满足
x 6ay， y 0， xy 0
将x的边界条件改用主矢量 和主矩的条件来代替。 已知x =0, x =l 次要边界上的主矢为0，主矩为M，即：

h 2 ( ) x x 0,l dy 0 h 2 h 2 ( ) x x 0 ,l h 2
M FN
O
h/2
x
h/2
FS
l
半逆解法。
y
解：(1)检验 (x, y) 是否满足相容方程
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
显然满足
=Axy+By2+Cy3+Dxy3
M FN FS O h/2 h/2 l x
(2)由 (x, y) 求应力分量

ydy M
h 2 6aydy h 2
3ay2
h 2
h 2
0
自然满足


h 2 6ay h 2
ydy 2ay3
h 2
h 2
ah3 M 2
2M a 3 h
x 6ay， y 0， xy 0
代 入
M O h/2 M
2M a 3 h
2 x 2 6ay, y 2 y 2 0, x
ay 3
2 xy =0 xy
式中， a为 待求系数。
(3) 并考察应力是否满足全部应力边界条件
检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界，必须精确满足。 b.后校核次要边界，若不能精确满足，则 应用圣维南原理，用积分的应力边界条件 代替。
h 2
y
(2)悬臂梁
该条件是无法满足的。在工程实际中这种完全固 定的约束也是不大能实现的。 现假定固定端的中点不移动，该点的水平线段 也不转动。这样，约束条件是
v u x l 0， v x l 0， y0 y0 x
xl y0
0
M xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI u
(σ y ) y h / 2 0

自然满足
x 2 B 6Cy 6 Dxy xy y 0 xy ( A 3Dy 2 )
3 A Dh 2 0 (a) 4
(B) 次要边界
h 2
+y
σx
FN B h 2 2h 3Fs h A 2 2 F 2h h2 σ x x0 ydy M C 3N h h 2 1 3 τ dy F S Ah Dh Fs (b) h2 xy x0 4
y
x
y
h/2 l
x 1
h

12M σ x 3 y, h
σ y 0, τ xy τ yx 0
1 h3 矩形截面梁的惯性矩： I 12
M 得应力分量 x y, y 0, xy yx 0 (3-1) I 与材料力学结果相同。
从应力求位移的步骤： 1.由物理方程求出形变分量； 2.代入几何方程，积分求 ux, y , vx, y ； 3.由位移边界约束条件确定确定刚体位移 分量 u0 , v0 , 。
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
逆解法与半逆解法 多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力 教学参考资料
要点—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹
性力学问题。
要求
1.掌握逆解法与半逆解法等按应力函数求解 的方法； 2.了解矩形梁纯弯曲的求解过程
在常体力情况下，应力函数法求解步骤：
(1)由相容方程 求出应力函数Φ
4 4 4 2 2 2 4 0 4 y x y x
2 2 y 2 f y y, xy x xy
(2)由应力函数Φ与应力的关系式求出应力分量
2 x 2 f x x, y
（楔形体受重力和液体压力，3-5节）
§3-2
o
h 2 h 2
l
y
矩形梁的纯弯曲
M
x
M
(l h, 1)
1
注：体力不计，求解应力 x、y、xy 时，平面应变 问题与平面应力问题结果一样。 用半逆解法求解
1. 由逆解法可知，取应力函数Φ =ay3
该函数满足相容方程 4 0
(2) 利用应力分量计算式， 由应力函数求出应力
半逆解法是解弹性力学问题的主要方法，其中的关 键是如何根据问题的特点确定应力函数的形式 。
如何寻找应力函数 Φ ？ ⑴ 根据逆解法的基本解答推测；
（矩形梁的纯弯曲，3-2节）
⑵ 根据弹性体的受力情况，边界条件等 假设应力的函数形式, 再推测 Φ的函 数形式；
（简支梁受均布荷载，3-4节）
⑶ 根据量纲分析法推测Φ的函数形式。
与材料力学结 果相同。
梁轴线的挠 度方程：
(v ) y 0
M (l x ) x 2 EI
M xy y u0 , EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI u
M
O
M x
l
约束条件 u x l 0 v x l 0
h y 2
2Φ σ x 2 2 B 6Cy 6 Dxy y 2Φ σy 2 0 x 2Φ 2 xy ( A 3Dy ) xy
y
σy
(3)考察应力边界条件 (A) 主要边界
( xy ) y h / 2 0

3 A Dh 2 0 (a) 4
2
M
2v M 2 x EI 1
(3-2)
可见，挠曲线微分方程 与材料力学相同
——故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
E 对于平面应变情况下的梁，须把E 换为 1 2
，将
换为

1
即可。
2v 1 2 M 2 x EI 1


(3-5)
习题3-10 单位厚度的悬臂梁, 受力如图, 体力不 计, l>>h, 试用应力函数 =Axy+By2+Cy3+Dxy3 求解应力分量。