专题2.1 三力平衡与三维受力平衡
【题型概览】
在三力平衡与三维受力平衡中，物体只受到三个力作用而处于平衡状态，处理方法可以是合成法可以是分解法；合成法中可以应用三角函数、正弦定理、余弦定理等可以应用相似三角形、菱形性质甚至是对称性的应用等；涉及问题可以是平衡的判定可以是定量的计算，物体可以是在受同一平面作用力而平衡，也可以是物体受力分布在空间而平衡
【题型通解】
1.三力作用下的平衡利用合成法定量求解外力
常用数学方法有：(1)当出现直角三角形时应用三角函数解三角形;(2)当三角形中三个夹角已知时应用正弦定理求外力;(3)当几何三角形中三边已知时应用相似三角形对应边成比例求解;(4)当出现菱形时利用菱形对角线的性质求外力。

例1 .表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦的定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如右图所示，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计球的大小)
A．24∶1 B．25∶1C．24∶25 D．25∶24
【答案】Ｄ
【解析】对小球2进行受力分析，如图所示，显然△OPO′与△PBQ相似．设OO′＝H，OP＝R，O′P＝L2，由相似三角形的性质有m2g/H＝F N/R＝F2/L2，
则m2＝F2H/(gL2)，同理可得m1＝F1H/(gL1)。

而F1＝F2，于是m1/m2＝L2/L1＝25∶24.
例2.质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整
个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为=30°．不计小球与斜面间的
摩擦，则
A ．轻绳对小球的作用力大小为
B
C ．斜面体对水平面的压力大小为(
M+m )g D
【答案】AD 【解析】解法一：分析物体B 受力如图，作出平行四边形，由于N 和T 与竖直方向的夹角皆为θ，则该平行四边形为一菱形，故，A 正确B 错误。

再分析A 受力如图
，由平衡条件有、，解得、，C 错误D 正确。

作用于原点O 的三力平衡，已知三力均位于ｘO ｙ平面内，其中一个力的大小为F 1，沿ｙ轴负方向；力F 2的大小未知，与ｘ轴正方向的夹角为θ，如图所示。

下列关于第三个力F 3的判θmg 33θsin N f =mg f 63=A θ
B
θ
例2图
断，正确的是
A.力F 3只能在第二象限
B.力F 3与F 2夹角越小，则F 2与F 3的合力越小
C.力F 3的最小值为F 1cos θ
D.力F 3可能在第三象限的任意区域
【答案】Ｃ
４.系统平衡时要考虑整体与隔离，不涉及内部作用力的情况下可直接选取整体为研究对象；
隔离时选取受力较少且涉及待求量的物体作为研究对象。

当受到三个以上作用力时常利用正交分解法处理
例5.如图所示，质量为M 、半径为R 、内壁光滑的半球形容器静放在粗糙水平地面上，O 为球心．有一劲度系数为K 的轻弹簧一端固定在半球底部处，另一端与质量为m 的小球相连，小球静止于P 点。

已知地面与半球形容器间的动摩擦因数为μ， OP 与水平方向的夹角为θ＝30°．下列说法正确的是
A ．小球受到轻弹簧的弹力大小为
B ．小球受到容器的支持力大小为
C ．小球受到容器的支持力大小为
D ．半球形容器受到地面的摩擦大小为
O mg 23mg 21mg mg 23
【答案】Ｃ
5.物体在三维空间中力作用下处于平衡，可以通过合成或分解的办法降到二维平面上处理。

多个外力时利用正交分解法
例6.如图所示，A 、B 为竖直墙壁上等高的两点AO 、BO 为长度相等的两根轻绳，CO 为一根轻杆。

转轴C 在AB 中点D 的正下方，AOB 在同一水平面上。

∠AOB =90°，∠COD =60°。

若在O 点处用轻绳悬挂一个质量为m 的物体，则平衡后绳AO 所受拉力的大小为
A
． B ． C ． D ．
【答案】D 【解析】设OA 和OB 绳拉力F A 和F B 的合力为F D ，由对称性知其方向沿OD ，对O 点受力分析，各力在竖直平面内，如图所示，由平衡条件可得：F D ＝F C cos60°、F C sin60°
＝mg ，可求得：F D ＝33 mg .再在水平面内由2F A ·cos45°＝F D ，可得F A ＝66 mg ，D 正确.
【题型对练】
1.两光滑平板MO 、NO 构成一具有固定夹角θ0=75°的V 形槽，一球置于槽内，用θ表示NO 板与水平面之间的夹角，如图所示。

若球对板NO 压力的大小正好等于球所受重力的大小，则
mg 31mg 33mg 61mg 66
下列θ值中哪个是正确的？（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
【答案】B
2.在均匀棒的两端各系一轻绳，棒的上端的轻绳的另一端固定在天花板上，再将系下端的绳用力F 拉到水平方向，上端的绳与水平方向成角，棒与水平成角而静止。

则下面各式正确的是
A ．tan =2tan
B ．sin =2sin
C ．cos =2cos
D ．sin =2cos
αβαβαβαβα
β1图
【答案】A
3.如图所示，竖直杆上有相距为L的两点A、B，现有一个质量为m的小球，用两根长为L的细线分别系于A、B两点，要使m处于如图所示的静止状态，且两细线均处于伸直状态，则外加的恒力方向不可能为哪个方向？
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
【答案】D
【解析】当小球受到的恒力沿F1方向时，两细线中拉力为零可使小球处于平衡，A正确；当恒力沿F2或F3的方向时，两细线中有拉力，且两拉力的合力方向在两细线之间向左，与重力共同作用时可能使合力为零，故BC也可以；若恒力沿F4的方向时，两细线拉力的合力方向只能在两细线之间，与重力的合力就不可能为零，故D错误。