等比数列：是一种特殊数列。

它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

称为公比，符号为q。

公比公式
根据等比数列的定义可得：
通项公式
我们可以任意定义一个等比数列
这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有：
a2 = a1q，
a3 = a2q = a1q2，
a4 = a3q = a1q3，
，
以此类推可得，等比数列的通项公式为：
a n = a n − 1q = a1q n − 1，
求和公式
对于上面我们所定义的等比数列，即数列。

我们将所有项进行累加。

于是把称为等比数列的和。

记为：
如果该等比数列的公比为q，则有：
（利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有：
(1)式减去该式，有：
(q − 1)S n = a1− a1q n (2)
然后进行一定的讨论
当时，
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。

但我们可以发现，此时：
= na1
∙综上所述，等比数列的求和公式为：
∙经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时
（更正：分母为1-q）
当时, 等比数列无限项之和
由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:
（更正：分母为1-q）性质
如果数列是等比数列，那么有以下几个性质：
∙
证明：当时，
∙对于，若，则
证明：
∵
∴
∙等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

即等比数列中有三项，，，其中，则有
∙在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

∙也成等比数列。

等差数列
等差数列是数列的一种。

在等差数列中，任何相邻两项的差相等。

该差值称为公差。

例如数列
就是一个等差数列。

在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。

通项公式
如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为：
.
等差数列的任意两项之间存在关系：
等差中项
给定任一公差为的等差数列。

从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。

例：
证明：
设，
则
∵(矛盾)
∴
证毕
等差数列的和
等差数列的和称为等差级数。

公式
一个公差为d的等差数列前n项的级数为：
等差级数在中文教科书中常表达为:
一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在很小的时候就发现这个公式。

在他三年级的时候，他的老师让学生们做从1加到100的习题。

高斯很快发现数列的规律，用上面的公式得出了5050的答案。

但显然可以肯定的是，在远远比这更早的古希腊甚至古埃及，就已经有人掌握了等差数列的这种求和的方法。

证明
将一个等差级数写作以下两种形式：
将两公式相加来消掉公差d:
整理公式，并且注意，我们有:
.
证毕
等差数列的积
等差数列的积较其和的公式复杂。

给定一首项为，公差为且其首项为正整数的等差数列，其前项的积写作：
其中为的次上升阶乘幂。

注意，该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。

等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

等比，等差数列，规律（公比，公差）从第二项开始算起，第n项a n的公比q（次数），公差d（系数）的值为n-1 。

即意味着公比，公差是从第二项开始算起的，而不是从第一项。

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