f 2
E2 E f Em E f Vf E f /VmEm 1
有人提出了更简单的关系式：E2 E f
Em E f 1Vf Vf Em
P105(7.24)
其中，Em
Em
1 m2
3、弹性理论法分析单向板的弹性性能
确定复合材料单向板弹性常数的弹性理论方法 基于各种模型和能量平衡法。
其中，Em＝1
Em
2
m
2
m 基体的泊松比
分析复合材料的横向弹性模量E2时，没考虑在横
向载荷作用下，纤维和基体在纤维纵向所产生的不
同约束而引起的双轴效应明显不同。不同的约束是
由于两相的应变不同产生的，并且当两相的泊松比
不同时，则更加明显，于是Ekvall提出了对E2修正
公式：
1
Vf
Vm Vf E f m / Em
受同样的外加应力。
＝2
f Ef
，
＝
m
2
Em
，
＝ 2
2 E2
由于变形是在宽度W上产生的，所以复合材料的变 形增量为：
2
W W
W W f Wm
m
Wm Wm
Wm VmW
f
W f Wf
W f VfW
2W mVmW f V f W
2 mVm f V f
2
E2
Vm
2
Em
Vf
2
Ef
G12 、G f、Gm —分别为复合材料、纤维基体的
剪切模量
2、材料力学法预测E1、E2的修正 由于前面分析纵横向模量时，都作了一些假定，
分析材料纵向模量E1时，没有考虑基体内由于纤维 约束所引起的三轴应力情况。于是Ekvall提出了一 个考虑泊松收缩时对E1的修正公式：Biblioteka E1 E f Vf EmVm
纤维分布的邻接概念
● Halpin和Tsai利用简化的方法，提出了复合材 料弹性性能的预测方程：
E1 E f V f Em (1 V f )
12 f V f m (1V f )
P107(7.30)
M c 1 V f M m 1 V f
而 (M f M m ) 1
(M
f
M
)
m
M c 复合材料的E2 , G12 ,或12
式中：
12
(1 m 2 m 2 ) f E f V f (1 m 2 m 2 )E f V f
(1 f (1 f
2 f 2 ) m EmVm 2 f 2 )EmVm
当 12 f m 时，则上界变为：
E1 E f V f EmVm
⑵直接法确定单向板的弹性常数 邻接度（c）：纤维之间的接近程度。（Tsai提出） c可由实验确定
面积 Am 组成的复合材料横截面积A上，纤维和基
体平行地承受应力，则有：
F Ff Fm
1A f Af m Am
设 Vf 和 Vm 分别为复合材料中的纤维体积含量和
基体体积含量，则有：
Vf
Af l Al
Af A
Vm
Am l Al
Am A
V f Vm 1
1 f V f mVm
两方法均以复合材料的组分特性来确定复合材料的 弹性模量和强度。
§7.1 连续纤维增强复合材料的力学复合
纤维形态
连续纤维 非连续纤维（短纤维）或晶须
晶须:长度为100～1000μm,直径约为1～10μm的单 晶体。
一、单向板的力学性能 1、材料力学法分析单向板的弹性性能
简单模型：
⑴ 单向板的纵向弹性模量E 1
1,1--复合材料的最终应变和应力
1m,m --基体的应变和应力
1 f , f --纤维的应变和应力
复合材料、基体和纤维的弹性模量分别为：
E1
Em
Ef
当一拉伸载荷沿平行于纤维方向作用在单向板上时：
则有： 1 1m 1 f
1 E11 m Em1 f E f f
当外加应力作用在由纤维横截面积 Af 和基体横截
D W
D W
若D
和
f
Dm分别为纤维和基体的变形量，则有
D D f Dm
f
D WV f
m
D WV m
W f WV f mWV m
f V f mVm
而
G12
f
Gf
m
Gm
G12
Gf
Vf
Gm Vm
1 V f Vm G12 G f Gm
或
G12
G f Gm G f Vm GmV f
1 Vm V f
或
E2 Em E f
E2
EmV f
EmE f E f (1 V f )
⑶单向板的主泊松比ν12
复合材料的主泊松比——是指在轴向外加应力时横 向应变与纵向应变的比值。
横向收缩，纵向伸长
主泊松比
12
2 1
1 —纵向应变
2 —横向应变
横向变形增量 W为：
W W f Wm
W
12
W
1
W f
f
VfW
1
Wm
m
VmW
1
121W V f f 1W Vm m1W
12 V f f Vm m
⑷单层板的面内剪切模量G12
假定纤维和基体所承受的剪切应力相等，并假 定复合材料的剪切特性是线性的，总剪切变量为D。
试样的剪切特性： f m
若试样宽度为W，则有剪切应变：
E1 E f V f EmVm
混合定律
或 E1 E f V f Em (1 V f )
上式为复合材料性能与复合材料组成性能加权和 之间的关系，被称为混合定律。
⑵ 单向板的横向弹性模量E 2
2 2m 2 f
垂直于纤维的横向载荷等同地作用载纤维和基
体上，即可以看作纤维与基体的串联模型，两者承
引言
复合材料力学复合的两个方面
细观力学 宏观力学
细观力学：根据增强体和基体性能及相互作用来了 解复合材料（更多的是单向复合材料）的特性，用 近似的模型来模拟复合材料的细观结构，然后根据 复合材料组分的性能来预测材料的平均性能。
细观力学处理方法
“材料力学”法 “弹性理论”法
宏观力学：依据单向复合材料的物理和力学试验所 得到的结果来进行分析。即根据单向复合材料的纵 向弹性模量E1、横向弹性模量E2、主泊松比ν12、面 内剪切模量G12以及适当的强度平均值,用宏观力学方 法来设计或预测复合材料的性能。
⑴ 能量法确定单向板的弹性常数
E1的下界的确定： 1 Vm V f E2 Em E f
而
E1 E2
1 Vm Vf E1 Em E f
（ E1 的下界）
E1 的上界确定：
E1
1 f
(1
4 f
f 12 2
2 12 2
f 2)
EfVf
1
m
(1
4 m
m 12 2
2
m2)
12
2
EmVm
M f 对应纤维的E f ,Gf ,或 f
M m 对应基体的Em ,Gm ,或 m 取决于增强体的特征，还取决于加载条件。