专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（1）该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。

1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。

2. 常用方法①对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。

②旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法”。

③放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。

【典例1】(2016·全国卷Ⅲ) 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。

一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB【答案】 D【解析】 如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ＝mv qB。

设入射点为A ，出射点为B ，圆弧与ON 的交点为P 。

由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB ＝R 。

由几何图形知，AP ＝3R ，则AO ＝3AP ＝3R ，所以OB ＝4R ＝4mvqB。

故选项D 正确。

【典例2】如图所示，成30°角的直线OA 、OB 间(含OA 、OB 线上)有一垂直纸面向里的匀强磁场，OA 边界上的S 点有一电子源，在纸面内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子在磁场中运动的半径为r 、周期为T 。

已知从OB 边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为T6，则下列说法正确的是( )A ．沿某一方向发射的电子，可能从O 点射出B ．沿某一方向发射的电子，可能沿垂直于OB 的方向射出C ．从OA 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T 3D ．从OB 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T4【答案】BC【解析】当出射点D 与S 点的连线垂直于OB 时，弦SD 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，t ＝θ360°T ＝T6，则θ＝60°，如图1所示：【典例3】如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8kg 、电量为q ＝1.0×10－6C 的带电粒子，从静止开始经U 0＝10 V 的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP ＝30 cm ，(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：(1)带电粒子到达P 点时速度v 的大小；(2)若磁感应强度B ＝2.0 T ，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离； (3)若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B ′满足的条件。

【答案】 (1)20 m/s (2)0.90 m (3)B ′>5.33 T(取“≥”也可) 【解析】 (1)对带电粒子的加速过程， 由动能定理qU 0＝12mv 2代入数据得：v ＝20 m/s 。

(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：qvB ＝mv 2R 得R ＝mv qB代入数据得：R ＝0.50 m 而OPcos 53°＝0.50 m 故粒子的轨迹圆心一定在x 轴上，粒子到达Q 点时速度方向垂直于x 轴，轨迹如图甲所示。

由几何关系可知：OQ ＝R ＋R sin 53°故OQ ＝0.90 m 。

(3)带电粒子不从x 轴射出(如图乙)，由几何关系得：OP >R ′＋R ′cos 53° R ′＝mv qB ′由以上两式并代入数据得：B ′>163T≈5.33 T(取“≥”也可)。

【典例4】(2018福州模拟)如图所示，有一矩形区域abcd ，水平边长为s ＝ 3 m ，竖直边长为h ＝1 m ，当该区域只存在大小为E ＝10 N/C 、方向竖直向下的匀强电场时，一比荷为q m＝0.1 C/kg 的正粒子由a 点沿ab 方向以速率v 0进入该区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心。

当该区域只存在匀强磁场时，另一个比荷也为q m＝0.1 C/kg 的负粒子由c 点沿cd 方向以同样的速率v 0进入该区域，粒子运动轨迹也恰好通过该区域的几何中心。

不计粒子的重力，则( )A ．正、负粒子离开矩形区域时的速率均为32m/s B ．磁感应强度大小为32T ，方向垂直纸面向外 C ．正、负粒子各自通过矩形区域所用时间之比为6πD ．正、负粒子各自离开矩形区域时的动能相等 【答案】C边射出时：h ＝12×Eq m ×t ′2，代入数据得t ′＝ 2 s ，由上述分析，负粒子在磁场中偏转90°后从ab 边射出，时间t ″＝14T ＝14×2πm Bq ＝π3 s ，所以两者的时间之比t ′t ″＝6π，所以选项C 正确；由于正粒子在电场中是做匀加速曲线运动，所以速度将增加，而负粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速度大小不变，且两种粒子的比荷虽然相等，但质量大小情况不明，所以两种粒子离开矩形区域时动能不相等，所以选项D 错误。

【典例5】(2016·全国卷Ⅱ)一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。

图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。

在该截面内，一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角。

当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N 飞出圆筒。

不计重力。

若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )A.ω3B B.ω2B C.ωBD.2ωB【答案】 A【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧MP 所对应的圆心角由几何知识知为30°，则π2ω＝2πm qB ·30°360°，即qm ＝ω3B，选项A 正确。

【跟踪训练】1.如图所示，在x >0、y >0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x 轴上的P 点以不同的初速度平行于y 轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )A ．初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子B ．初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子C ．在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子D．在磁场中运动时间最短的是沿④方向射出的粒子【答案】A2．如图所示，在一挡板的上方，有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

为上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为、质量为、带电量为的粒子，假设不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。

则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径，所有粒子在磁场中半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动。

如图所示，由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为：，故选C.3. 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。

一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场【答案】AC 【解析】如图所示，4. 如图所示，在平面直角坐标系中有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场(未画出)，其边界过原点O 和y 轴上的点a (0，L )。

一质量为m 、电荷量为e 的电子从a 点以初速度v 0平行于x 轴正方向射入磁场，并从x 轴上的b 点射出磁场，此时速度的方向与x 轴正方向的夹角为60°，下列说法正确的是( )A ．电子在磁场中运动的时间为πLv 0B ．电子在磁场中运动的时间为2πL3v 0C ．磁场区域的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32L ，L 2D ．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L ) 【答案】BC【解析】 设电子的轨迹半径为R ，电子运动轨迹如图所示，由几何知识，R cos 60°＝R －L ，得R ＝2L ，电子在磁场中运动时间t ＝T 6，而T ＝2πR v 0，得：t ＝2πL3v 0，A 错误，B 正确；设磁场区域的圆心坐标为(x ，y )，其中x ＝12R sin 60°＝32L ，y ＝L2，所以磁场圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32L ，L 2，故C 正确；由R ＝2L ，且入射点坐标为(0，L )，所以电子的圆周运动的圆心坐标为(0，－L )，故D 错误。

5．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°。

一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场。

已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求：(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹；(2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R 1和R 2的比值； (3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。