课时作业(十一)
1．如果直线a∥平面α，b⊂α，那么a与b的关系是()
A．相交B．不相交
C．平行D．异面
答案 B
解析a与b平行或异面，但不能相交．
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论中成立的是()
A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点
答案 D
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()
A．都平行B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点
答案 D
解析若l∥平面α，则交线都平行；
若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，
D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()
A．2＋ 3 B．3＋ 3
C．3＋2 3 D．2＋2 3
答案 C
解析因为CD∥AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB.
又CD⊂平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF，
所以CD∥EF，所以四边形CDEF为等腰梯形，
且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝3，
所以四边形CDEF的周长为3＋23，选C.
5．下面四个命题中：①平面外的直线就是平面的平行线；②平行于同一平面的两条直线平行；③过平面外一点可作无数条直线和这个平面平行；④△ABC中，AB∥平面α，延长CA，CB，分别交α于E，F，则AB∥EF.正确的命题的序号是________．
答案 ③④
6．四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCEF 的形状为________． 答案 梯形
解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD. ∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD. 又∵平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF.∴AD ∥EF. 又∵E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD.∴EF ≠BC. ∴四边形BCEF 是梯形．
7．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ACD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系为________． 答案 平行
8.如图，空间四边形ABCD 中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，CD 的中点，平面PQR 交BC 于点S.求证：四边形PQRS 为平行四边形． 证明 如图，∵P ，Q 分别为AB ，AD 中点，∴PQ 綊1
2BD.
又∵BD ⊂面BDC ，PQ ⊄面BDC ，
∴PQ ∥面BDC.
又∵四边形PQRS ∩面BDC ＝SR ， ∴PQ ∥SR ，同理PS ∥QR ， ∴四边形PQRS 为平行四边形．
9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1E.
证明 连接B 1D 1交A 1C 1于M ，
∵M，E分别为D1B1，D1D的中点，∴ME∥B1D.
又∵B1D⊄面A1C1E，ME⊂面A1C1E，
∴B1D∥平面A1C1E.
10.已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F，求证：四边形EBFD1为平行四边形．
证明在线段D1D上取一点M，使得D1M＝AE，所以四边形AMD1E是
平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1＝AM，又AE＝C1F，所以MF∥CD，
且MF＝CD，所以四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF，且AM＝
BF，又ED1∥AM，且ED1＝AM，所以ED1∥BF，且ED1＝BF，所以四边形EBFD1为平行四边形．
11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面为等腰直角三角形，且AB＝BC＝a，∠ACB＝90°，M，N分别是A1B，B1C1的中点，求证：MN∥平面ACC1A1.
证明连接AB1，AC1，由平行四边形的性质可知AB1与A1B相交于点M.
在△B1AC1中，
∵M，N分别是AB1，B1C1的中点，
∴MN∥AC1.
又MN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1.
12．如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E，F分别是SD，BC上的点，
且SE∶ED＝BF∶FC，求证：EF∥平面SAB.
证明在SC上取一点H，使SH∶HC＝SE∶ED，
则EH∥DC，而DC∥AB，∴EH∥AB.
∵SE∶ED＝BF∶FC，
∴SH∶HC＝BF∶FC.
∴HF∥BS.
∵FH∩HE＝H，
∴平面EHF∥平面SAB.
∵EF⊂平面EHF，
∴EF与平面SAB没有公共点．
∴EF∥平面SAB.
1．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC ＝DG∶GC.故选D.
2.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四条边上的
点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD
＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．
答案m∶n
解析∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC.
∴EF ＝HG ＝BE
BA
·m.
同理，EH ＝FG ＝AE AB ·n ，∴BE AB ·m ＝AE
AB ·n ，
∴AE ∶EB ＝m ∶n.
3．在矩形ABCD 中，E 为AB 上一点，将B 点沿线段EC 折起至点P ，连接PA ，PD ，取PD 的中点F ，若有AF ∥平面PEC ，试确定E 的位置． 解析 E 为AB 的中点时，有AF ∥平面PEC. 取PC 中点G ，连接GE ，GF ，由已知得GF ∥CD.
∵EA ∥CD ，∴GF ∥EA ，则G ，E ，A ，F 四点共面． ∵AF ∥平面PEC ，平面GEAF ∩平面PEC ＝GE ， ∴FA ∥GE ，∴四边形GEAF 为平行四边形． ∵GF ＝12CD ，∴EA ＝12CD ＝1
2BA.
∴E 为AB 中点．
4．如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β. 求证：a ∥l.
证明 方法一：如图①所示，过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a ∥α，∴a ∥b.同样过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a ∥β，∴a ∥c ，∴b ∥c.又b ⊄β，c ⊂β， ∴b ∥β，又b ⊂α，α∩β＝l ，∴b ∥l ，∴a ∥l.
方法二：如图②所示，在l 上任取一点A ，过A 和a 作平面和α交于l 1，和β交于l 2.
∵a∥α，∴a∥l1，∵a∥β，∴a∥l2.
但过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
∴l1与l2重合．又l1⊂α，l2⊂β，
∴l1与l2重合于l，∴a∥l.
5．已知平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，求证：l3∥l2，l3∥l1. 证明α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，
∵l1∥l2，α∩γ＝l2，∴l1∥γ.
∵l1⊂β，β∩γ＝l3，∴l1∥l3.
由平行公理，可得l3∥l2.。