极坐标系与参数方程◆ 知识梳理 一、极坐标1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或222tan (0)xy yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，θ的象限由点(,)x y 所在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 ；（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ；（3）圆心在点)2,(πa 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。

2、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是 ； （2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； 三、常见曲线的参数方程第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【知识点】定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩的作用下，点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。

称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。

定义2： 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。

若以向量a ρ表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a ρ平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =ρ，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+即有： x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩，在平面直角坐标系中，由x x hy y k'=+⎧⎨'=+⎩所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

【典例1】（2014年高考辽宁卷（文））将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (I)写出C 的参数方程；（II ）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 练习：1．将点)2,2(-P 变换为点)1,6(-'P 所用的伸缩变换公式是 （ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 231 B.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 321 C.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 213 D.⎩⎨⎧='='y y x x 232.在同一直角坐标系中，将直线22x y -=变成直线2''4x y -=，则满足图象变换的伸缩变换公式是______________.3.在平面直角坐标系中将曲线1:22=+y x C 按照变换'4:3'2x x y y ϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩得到的曲线'C 的方程为___________。

4.已知曲线1cos :()sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数.若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的，得到曲线2C ，则曲线2C 的参数方程为________，普通方程为___________。

【典例2】把圆221:(3)(1)4C x y ++-=先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到圆2C ，求圆2C 的普通方程。

练习：1. 点)3,2(-P 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点'P 的坐标是_________。

2. 抛物线24x y =先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是_________。

3. 将曲线22:240C x y x y +-+=先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的曲线的方程是_________。

第二节 极坐标与直角坐标互化【知识点】cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，θ的象限由点(,)x y 所在象限确定. 练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标（1）(3,)4π ； （2）2(2,)3π ； （3） (4,)2π；（4）(,)2π ； （5）7)6π ； （6）5(1,)4π； 练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标 （1） ；（2）(0, ； （3） 1(0,)2； （4）(3,0) ； （5）(3, ； （6）(2,-- ； 考点二：曲线的极．坐标方程与直．角坐标方程的互化 练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）cos 2sin 10ρθρθ-+=: ； （2: ； （3: ；（4）2sin ρθ=: ； （5）4cos 2sin ρθθ=-: ； （6）4cos ρθ=: ； (7): ； （8: ；；； 注意：极．．．．：直线0θθ=或射线0θθ= →直：y kx =（或y kx =（0x ≥）或y kx =（0x ≤）练习二：把下列曲线的直．角坐标方程化为极．坐标方程:（1）20x y -+=: ； （2: ；（3: ；（4）22326x y +=: ；（5）2260x y x ++=: ；（6）22(3)4x y -+=: ； 高考再现1．（2013年高考辽宁卷（文））在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C的极坐标方程分别4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭(I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t at R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.2.（2014年高考广东卷（文））在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=。

以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．3．（2014年高考陕西卷（文））在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．4. （2015年高考湖南卷（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.第三节 参数方程与普通方程互化【知识点】常见曲线的参数方程把参数方程化为普通方程的常用方法：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；（2）三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系22sin cos 1αα+=； （3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

练习一：把下列曲线的直角坐标（普通）方程化为参数坐标方程（1:C ；（2）22:134x y C +=，:C ； （3）22:2)(1)4C x y -+-=（，:C ； （4）22:42110C x y x y ++--=，:C ； （5）22:40C x y y +-=，:C ； （6（7）直线l 过点； 练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程（普通方程．．．．） （1）52:12x t C y t=+⎧⎨=+⎩（t：参数），:C ；（2）112:()2x t C t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数:C ； （3t ：参数），:C； （4）2:3x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ：参数），:C ；（5）2cos :x t C y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t ：参数），:C ；（6）5cos :4sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α：参数），:C ；（7）2:2x p C y p⎧=⎨=⎩（p ：参数），:C ；（8）3sin 4cos :4sin 3cos x C y θθθθ=+⎧⎨=-⎩（θ：参数），:C ；◆高考再现1 ．（2013年高考广东卷（文））已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程__________。

2 ．（2013年高考湖南（文11））在平面直角坐标系xoy 中,若直线121,:x s l y s=+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____3 ．（2013年高考陕西卷（文15））圆锥曲线 (t 为参数)的焦点坐标是_____4. （2014年高考湖南卷（文））在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．5．（2013年高考课标Ⅰ卷（文）） 已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).6．（2014年高考新课标卷2（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(I)求C 的参数方程；22x t y t ⎧=⎨=⎩（II ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．7. （2015年高考广东卷（文））在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．第四节 极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题 常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。

步骤：（1）利用曲线的参数方程把曲线上的动点P 的坐标设出来；（2）利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点P 到直线l 的距离d ； （3）利用辅助角公式sin cos )a x b x x ωωωϕ±=±（其中tan b aϕ=），把第（2）步求出的距离d 的右边化为|sin()|A x k d tωϕ++=（0t ≠）的模式。