第二章函数
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集
合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函
数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数
的值域．
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
2，定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意
义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为
函数的定义域。
)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其
可修改
可修改 定义域.
（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂
函数值域的基础。
一、 例题变式
例1、求下列函数的定义域：
（1）
43--=x x y (2) ()121x f x x =
-- (3)6
522+--=x x x y
变式1、求下列函数的定义域： （1）
x x y 513-= （2
）y = （3）0(1)()x f x x x +=-
例2、已知等腰三角形的周长为17，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系式？并指出函数的定义域。
变式2、长为20m 的篱笆，一面靠墙围成矩形，设矩形和墙平行的边长为x ，矩形面积为
y ，试求y 关于x 的表达式，并指出x 的取值范围；x 取何值时，
y 有最大值？
例3、判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1．3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y
2。
x x f =)( 2)(x x g = 3．
x x f =)( 33)(x x F = 4．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
变式1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
可修改
A
．(),()f x x g x == B
．2
(),()f x x g x == C ．21
(),()11x f x g x x x -==+- D
．()()f x g x ==4、求函数值域的常见方法：
（1）直接法——利用常见基本初等函数的值域：
①
)0(≠+=k b kx y 的值域 ②)0(≠=k x k y 的值域 ③c bx ax y ++=2的值域：0>a 时为 ； 0>a 时为 。
（2）配方法——转化为二次函数，配成完全平方式.
（3）换元法——通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想
（4）分离常数法——适用于型如：d
cx b ax y ++=
的函数 （5）判别式法——适用于型如：p nx mx c bx ax y ++++=222的函数 （6）不等式法：借助于基本不等式ab b a 2≥+（a>0，b>0)求函数的值域.用不等式法求值域时，要注
意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”.
（7）单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域。
常用到函数)0(>+=k x
k x y 的单调性： 增区间为(－∞，－
k ]和[k ,＋∞)，减区间为(－k ,0)和(0，k ).
例3、求下列函数的值域： （1）y ＝－x 2＋2x (x ∈[0,3]) （2
）
y ； （3
）y x =+ （4）312x y x +=-； （5）11+-=x x e e y （6）221x x y x x -=-+（7） 1
22+=x x y （8）45
22++=x x y (9)|
2||2|++-=x x y
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可修改 二、课后练习
1．函数y=122+-x x 的定义域是 （ ）
A.[0，+∞)
B.（0，+∞）
C.（-∞，+∞）
D. [1，+∞)
2．函数
x x y 22-=的定义域为},30|{Z x x x ∈≤≤，那么其值域为 （ ） A ．{}3,0,1- B ．{}3,2,1,0 C ．{}31≤≤-y y D ．{}30≤≤y y
3．函数32122---=x x x y 的定义域是 ( )
A.R
B.}3,1|
{≠-≠x x x 或 C.}3,1|{≠-≠x x x 且 D.}31|{=-=x x x 或 4．函数)10(12≤<+-=x x y 的最值是 （ ）
A ．最小值为-1，最大值为1
B ．最小值不存在，最大值为1
C ．最小值为-1，最大值不存在
D ．最小值与最大值都不存在
5．函数3
12+-=
x x y 的值域是 ( ) A. R B. ),2()2,(+∞-∞ C.),0()0,(+∞-∞ D.]2
1,3(- 6．函数y =121-+-x x 的定义域是 (用区间表示). 7．函数y =⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1( 82)10(
5)0( 53x x x x x x 的最大值为______ ____. 8．以墙为一边，用篱笆围成一个长方形场地，并在场地中间用与长方形宽等长的篱笆隔开，若篱笆的总长度
为30m ，则场地面积的最大值为_______________
9．已知函数222++-=m mx mx y 的定义域为R, 则m 的范围是___________
10.求函数的定义域(1)
72||21
---=x x x y （2）2244)(x x x f -+-=.
11、已知函数12)(23
++=x ax x x f 的定义域是R ，求实数a 的取值范围.。