j1
功率方程
• 电力系统的功率方程求解时要注意 以下特点： 1. 若电力系统有n个独立节点，则可以 列出2n个方程。 2. 电力系统的功率方程是非线性的。 3. 数学上看功率方程可能有多重解， 但是针对电力系统具体问题，它的 解还应符合一定的约束条件。
4.2.2 节点分类
• 电力系统中的节点通常分成三类： 1. PQ节点——这类节点的有功功率P 和无功功率Q是给定的 2. PV节点——这类节点的有功功率P 和电压的大小U是给定的。 3. 平衡节点——电力系统中必须有一 个（只能是一个）平衡节点 ，这个 节点的电压的大小和相位角是给定 的。
讨论：各类节点的待求量是什么？
4.2.3 潮流计算的约束条件
电力系统在正常运行时，应该满足这样的条件： 1. 所有节点电压的大小都应在额定电压附近 U min Ui U max 2. 节点之间的电压的相位差很小
i - j i - j max
3. 发电机输出的PG应在可调节范围内 PGmin PG PGmax 4. 无功电源节点的Q也应在其可调节范围内


修正量 ：
0 f x x 0 f x 0

x
1
x - x
0
0
0 f x 0 x f x 0
一次迭代后的新值
4.3.1牛顿-拉夫逊法的基本原理
• 迭代计算的通式是：
x k1 x k - x k
• 导纳矩阵
YBU B I B
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
• • 导纳矩阵的特点： 1）电力网络中节点非常多，对有n个节 点的电力网络而言，其导纳矩阵为一个 的方阵，且是对称矩阵，即有Yij=Yji。 2）其元素(导纳)是复数，所以是一个复 数矩阵 3）所有的对角元素为自导纳，为正值。 4）所有的非对角元素是两个相连接的节 点之间支路导纳的负值，当两节点不相 连接时，非对角元素为零。
2 j1
P2 - jQ 2 U 2 cos 2 - jU 2sin 2 G 2j jB2j U jcos j jU jsin j
2 j1
功率方程
• 将上式展开并根据复数相等即实部、 虚部分别相等的原则，得到
P1 U1 U j G1jcos(1 - j ) B1jsin 1 - j
2 j1 2
共有2n方程
此题n=2
P2 U 2 U j G 2jcos( 2 - j ) B2jsin 2 - j
j1 2
Q1 U1 U j G1jsin(1 - j ) - B1jcos1 - j
j1 2
Q 2 U 2 U j G 2jsin( 2 - j ) - B2jcos 2 - j
31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 3
Y U Y U Y U Y U Y41U I4 1 42 2 43 3 44 4 45 5 Y U Y U Y U Y U Y U I
51 1 52 2 53 3 54 4 55 5 5
• 功率方程还可以化作实数方程式，把待求 电压相量用直角坐标表示为：
U U cos jU sin U 1 1 1 1 1 1 1
，
U U cos jU sin U 2 2 2 2 2 2 2
代入（4-17）得：
P1 - jQ1 U1cos1 - jU1sin1 G1j jB1j U jcos j jU jsin j
Y35=？
•若两节点之间不存在 直接连接的支路，则 有Yij=0，例如 Y13=Y31=0。
Y11 Y 21 Yn1
Y12 Y1n U I1 1 Y22 Y2n U 2 I 2 Yn2 Ynn U n I n
增加了哪一行，哪一列？ 如何求的？
4.1.3变压器变比改变时导纳矩阵的修正
• 在实际运行中，通过切换变压器的高压端 的分接头，使变压器的变比发生了变化， 相当于串联了一个理想的变压器，其变比 为1：K。
等效电路
4.1.3变压器变比改变时导纳矩阵的修正
• 如果某个变压器的分接头有切换时，相当 于在原来的阻抗（或导纳）的基础上增加 一个理想的变压器，只要修改与这个变压 器相关的两个节点的自导纳和互导纳：
负荷SL1也可以保留， 不用阻抗表示。
例4-2
• 修改后的矩阵为4阶矩阵：
0 - 0.6 j4 0 0.6 - j3.55 0 1.2 j7.8 0.6 j4 0.6 j4 YB - 0.6 j4 - 0.6 j4 1.2 - j7.5 0 0 0.6 j4 0 0.6 j3.75
k f x k x f x k
• 如果两次迭代解的差值小于允许误差范围， 即 迭代的收敛判据 x k
Y11
Y22
1 1 -j33.3 Z1 j0.03
Y12 -
Y1 - j33.3 j31.7 K 1.05
Y1 1 - j33.3 1 y j0.25 0.83- j33.1 2 2 K Z2 1.05 0.08 j0.30
例4-3
• 按节点导纳矩阵的计算，直接求其各元素， 其非零元素为：
• 考虑图4-3所示几种情况下时，导纳 矩阵的修正方法
仍为n阶，要修改的是： i节点的自导纳： Yii yx Yii j节点的自导纳:
Yjj yx Yjj
节点i与j 之间的互导纳： Yji Yij - yx Yij
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
仍为n阶，要修改的是： i节点的自导纳： Yii yx Yii j节点的自导纳:
节点电压方程的矩阵形式
Y11 Y 21 Yn1 Y12 Y1n U I1 1 Y22 Y2n U 2 I 2 Yn2 Ynn U n I n
4.1.1.节点电压方程的建立
• Yii称为节点i的自导纳，其值等于节点 所连接的所有支路中导纳之和。 • 例如Y11=y10+y12。 Y22=？
4.1.1.节点电压方程的建立
• 系数Yij（ i j ）称为节点i、j之间的 互导纳，其值等于连接这两个节点的 支路导纳的负值。 •例如Y12= Y21= -y12， Y34=？
1 1 1 1 Y33 2 y j0.25 0.83- j58.3 2 Z2 0.95 j0.02 0.08 j0.30 K Z3
1 1 Y34 j52.6 KZ3 0.95 j0.02
1 1 Y44 -j50 Z3 j0.02
4.2 功率方程和节点分类来自f x 0 - x 0 f x 0 - f x 0 x 0 0
4.3.1牛顿-拉夫逊法的基本原理
• 设有单变量非线性方程
f x 0
• 设方程的初值为 展开 ，得
f x
x
(0)
，代入并用泰勒级数
0

0
x
0
f x f x x
Yjj yx Yjj
节点i与j 之间的互导纳： Yji Yij y x Yij
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
• 考虑图4-3所示几种情况下时，导纳 矩阵的修正方法
仍为n阶，只有i节点 的自导纳要修改为：
Yii yx Yii
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
• 将等值电路图4-1(b)化简，并全用导纳表 示，得化简后的电路如图4-2所示。
4.1.1.节点电压方程的建立
• 标准的节点电压方程组
Y U Y U Y U Y U Y11U I1 1 12 2 13 3 14 4 15 5 Y U Y U Y U Y U Y21U I2 1 22 2 23 3 24 4 25 5 Y U Y U Y U Y U Y U I
QGmin QG QGmax
4.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算
• 有n个独立节点的电力系统的潮流计 算，可以化为一组2n个非线性方程组 的求解，并要求其解符合一定的（约 束）条件。 • 用牛顿-拉夫逊迭代法求解电力网的 非线性功率方程组通常称作牛顿-拉 夫逊法潮流计算。
确定电力系统各节点的电压和功率分布
•
• •
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
• 求下图的导纳矩阵： • 1、Y是几阶对称方阵？ • 2、Y44=？
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
• 考虑图4-3所示几种情况下时，导纳 矩阵的修正方法
仍为n阶，只有i节点 的自导纳要修改为：
Yii yx Yii
4.1.2.节点导纳矩阵及其修正
0 0
1 0 0 2 f x x - 2!


• 略去所有的高次项，近似有：
•
f x x

0
0
f x
0
0 0 f x x 0
4.3.1牛顿-拉夫逊法的基本原理
• 几何意义： 得修正方程式： • 多次迭代，逼近XT f x 0 f x 0 x 0
第4章 复杂电力系统潮流计算
• 本章讨论复杂电力系统潮流计算的一 般方法。 • 通过本章的学习，掌握通过编程求解 复杂电力系统潮流计算的方法。
4.1 电力网络的数学模型
• 4.1.1.节点电压方程的建立
取接地点作为计算节点电压 的参考点，并对各母线标明 节点号，设各节点（母线） 电压作为待求量。
4.1.1.节点电压方程的建立