=
−
p 3
，
即 u1 、 v1
；u2
、 v2 ； u3 、 v3
，也就是满足 u1v1
=
u2v2
=
u3v3
=
3
T
2
−
D
=
−
p 3
，
于是方程(1)的三个根为 y1 = u1 + v1 ， y2 = w1u1 + w2v1 ， y2 = w2u1 + w1v1 ，
这时方程(1)有一个实根 y 1 ，两个共轭虚根 y 2 ， y 3 ，其表达式就是前面给出的“卡
w2
)
=
− 3 4q 2
方程(1)有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3)若
∆
<
0
，即
D＜0
时，因为
q 2
2
+
p 3
3
<
0
，故
p
<
0
，
则 u 3 、 v3 均为虚数，求出 u3 、 v3 ，并用三角式表示，就有 u3 = T + i −D ， v3 = T − i −D ，
其中 T， −D 都是实数，
一元三次方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ≠ 0) 的解法
先把方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 化为 x3 + px + q = 0 的形式：
令 x = y − b ，则原式变成
3a
原式 ⇔ a( y − b )3 + b( y − b )2 + c( y − b ) + d = 0
y1
=
3
−
q 2
+
q 2 2
+
p 3 3
+
3
−q 2
−
q 2
2
+
p 3
3
y2
=
ω
⋅
3
−
q 2
+
q 2 2
+
p 3
3
+ω2
⋅
3
−
q 2
−
q 2
2
+
p 3
3
y3
=
ω2
⋅
3
−
q 2
+
q 2 2
+
p 3 3
+ω ⋅ 3
−q 2
−
q 2
2
+
p 3
3
其中ω = −1+ 3i 。
3a
3a
3a
⇔
a( y3
−
by 2 a
+
b2 y 3a 2
−
b3 27a
3
)
+
b(
y
2
−
2by 3a
+
b2 9a 2
) + c(y
−
b )+ 3a
d
=
0
⇔
ay 3
− by 2
+
b2 3a
y−
b3 27a 2
+ by 2
−
2b 2 3a
y+
b3 9a 2
+ cy −
bc 3a
+d
=0
⇔
ay 3
+ (c −
(3)
选择
u、v
，使得
uv
=
−
p 3
即
u
3v3
=
−
p3 27
(4)
u3 + v3 = −q
u3 + v3 = −q
故 u3 、 v3 关于 t 的一元二次方程 t 2 + qt − p3 = 0 的两个根。
27
设， ∆
=
D
=
q 2
2
+
p 3
3
，
T
=
−q 2
，
又记 u3 的一个立方根为 u1 ，则另两个立方根为 u2 = ω1u1 ， u3 = ω2u1 ，其中ω1 、ω2 为
2π + α 3
于是方程(1)得三个实根为 y1 = u1 + v1 ， y2 = u2 + v2 ， y3 = u3 + v3 ，故有
具体表示出来就为：
y1 = − 2
−3 p cos α ；
3
3
y2 = −
−3 p 3
cos
α 3
+
3
sin
α 3
；
y3 = −
−3 p 3
cos
α 3
−
3
9
取 u1 = −
−3 p 3
cos
α 3
+
i sin
α 3
；
v1
=
−Leabharlann 其中α=arccos
−3q −3 p 2 p2
且0
<α
<
π
−3 p 3
cos
α 3
−
i
sin
α 3
则 u2 = w1u1 =
v2 = w2v1 =
−3 p 3
cos
2π 3
+ i sin
2π 3
cos
α 3
+ i sin α 3
=
−3 p 3
cos
4π + α 3
− i sin
4π + α 3
−3 p 3
cos
2π + α 3
+ i sin
2π + α 3
u3 = w2u1 =
−3 p 3
cos
4π + α 3
+ i sin
4π + α 3
v3 = w1v1 =
−3 p 3
cos
2π + α 3
− i sin
丹公式”的形式，这里的根式 D 及 3 T ± D 都是在实数意义下的。
2)若 ∆ = 0 ，即 D = 0 时，可求得 u3 = v3 = T 。取 u1 = v1 = 3 T ，
故可求得 y1 = u1 + v1 = 2 3 T = − 3 4q ；
y2
=
y3
=
w1u1
+
w2v1
=
3
T
( w1
+
b2 )y 3a
+ (d
+
2b 3 27a 2
−
bc ) 3a
=
0
⇔
y3
+
(c a
−
b2 3a 2
)
y
+
(
d a
+
2b3 27a 3
−
bc 3a 2
)
=
0
如此一来二次项就不見了，化成
y3
+
py
+q
=
0 ，其中
p
=
c a
−
b2 3a 2
，q
=
d a
+
2b 3 27a 3
−
bc 3a 2
。
对方程 y3 + py + q = 0 直接利用卡尔丹诺公式：
ω1
=
−1 + 2
3i
;ω2
=
−1− 2
3i ;
以下分三种情形讨论：
1)若 ∆ > 0 ，即 D > 0 时，则u3 、 v3 均为实数，可求得 u 3 = T + D ， u3 = T − D 。
取 u1 = 3 T + D ， v1 = 3 T − D ，
在
y
=
ui
+
vj
， (i,
j
= 1,2,3)组成的九个数中，有且只有下面三组满足 uv
2
∆
=
q 2
2
+
p 3
3
是根的判别式：Δ＞0
时、有一个实根两个共轭虚根；
Δ＝0 时、有三个实根，且其中至少有两个根相等；
Δ＜0 时、有三不等实根。
1
三次方程求根公式的推导过程 y3 + py + q = 0
(1)
不妨设 p、q 均不为零，令 y = u + v
(2)
代入(1)得， u3 + v3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0
sin
α 3
；
α
=
arccos
−3q −3 p 2 p2
且0<α <π
3
2
( ) 故虚数 u3 、 v3 模均为 u3 = v3 = T 2 +
2
−D =
q 2
2
−
D
=
−
p 3
3
所以 u3 =
−
p 3
3
−q
2+
−
p 3
3
−D
−
p 3
3
i
=
−
p
−3 p (cosα + i sin α )
9
同理 v3 = − p −3 p (cosα − i sin α ) ，