暑假专题——三角形
［教学目标］
1. 理解三角形三边之间的关系以及三角形的内角和。

2. 掌握两个三角形全等的条件以及全等三角形的性质，并能解决一些实际问题，发展分析问题和解决问题的能力。

二. 重点、难点：
应用三角形全等的条件及全等三角形的性质解题，从而发展分析问题和解决问题的能力是本节的重点与难点。

［知识点归纳总结］
1. 三角形的三边之间的关系
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。

2. 三角形的内角和
三角形三个内角的和等于180°。

3. 三角形全等的条件
（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。

4. 全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等，对应边相等。

5. 三角形的外角性质
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

【典型例题】
例1.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由。

解：△CEF≌△BDE Array理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE
∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE
∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE
∴△CEF≌△BDE（ASA）
例2. 已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，
为什么？
解：理由：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC
∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ）
∴∠DCE ＝∠BAF
∴CD ∥AB
例3. 用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成一个四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于E 、F 时，通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。

解：结论：BE ＝CF
理由：∵△ABC 、△ACD 为等边三角形
∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，∠BAC ＝60°
又∵∠1＋∠EAC ＝60°，∠2＋∠EAC ＝60°
∴∠1＝∠2
∴△ABE ≌△ACF （ASA ）
∴BE ＝CF
例4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是BC 边上的高，∠B ＝20°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数。

解：∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°
又∵∠B ＝20°，∠C ＝40°
∴∠BAC ＝180°－20°－40°＝120°
∵AD 平分∠BAC
∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°
又∵∠C ＝40°
∴∠EAC ＝90°－40°＝50°
∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝60°－50°＝10°
例5. 如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，且AC ＝3cm ，BD ＝5cm ，你能利用全等三角形有关知识测出AB 的长吗？
解：如图所示，在AB上截取AF＝AC，连结EF
∵AE是∠CAB平分线
∴∠CAE＝∠BAE
∵AC＝AF，AE＝AE
∴△ACE≌△AFE
∴∠C＝∠EFA
∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°
∵∠AFE＋∠EFB＝180°
∴∠D＝∠EFB
∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE
∵BE＝BE，∴△DBE≌△FBE
∴BF＝BD
∴AB＝AC＋BD
∵AC＝3cm，BD＝5cm
∴AB＝8cm
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题。

1. 已知等腰三角形的两边长是4cm和9cm，则此三角形的周长是（）
A. 17cm
B. 13cm
C. 22cm
D. 17cm或22cm
2. 两根木条的长分别是20cm和30cm，要钉成一个三角形的木架，则在下面4根长度的
木条中应选取（）
A. 10cm
B. 20cm
C. 50cm
D. 60cm
3. 如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则∠1与∠A的关系是（）
A. 互余
B. 互补
C. 相等
D. 不确定
4. 如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的和为（）
A. 180°
B. 360°
C. 540°
D. 720°
5. 在两个三角形中，下列条件能判定两个三角形全等的是（）
A. 有两条边对应相等
B. 有两角及其中一个角的对边对应相等
C. 有三个角对应相等
D. 有两边及一角对应相等
6. 在具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）
A. ∠A－∠B＝∠C
B. ∠A＝3∠C，∠B＝2∠C
C. ∠A＝∠B＝2∠C
D.
二. 已知：如图所示，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A ＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数。

三. 已知：如图所示，AC＝BC，AD＝BD，M、N分别是AC、BC的中点，则DM＝DN，为什么？
四. 已知：如图所示，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别是B、D，要想得到AB＝AD的结论，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由。

【试题答案】
一. 选择题。

1. C
2. B
3. C
4. B
5. B
6. C
二. ∠EBD＝∠EDB＝35°，∠BED＝110°
三. 先证△ACD≌△BCD（SSS），再证△DCM≌△DCN（SAS）
四. 补充：BC＝DC或∠BAC＝∠DAC或∠BCA＝∠DCA或AB＝AD
理由略。