n
w i r i 0
i1
• 套利具有“免费午餐” 的 性质 – 零投资
– 无风险
– 正利润。
（二）套利投资组合的构造
• 股票A、B、C、D（四种股票的价格都为10元），在 利率、通胀四种不同情况（概率相同）下的资产和资 产组合的收益率如下表所示：
名称
概率 A B C D
高实际利率
充分分散的投资组合
Well - diversifie d portfolio
考虑 n 个证券的等权重资产组
合，
其中每个证券的收益为
： ri E ( ri ) i F ei
组合 P 的收益： rP E ( rP ) P F e P
其中， P w i i , e P w i e i
• 但是，套利定价理论的假定与推导过程与 CAPM模型很不同，罗斯并没有假定投资者都 是厌恶风险的，也没有假定投资者是根据均值 -方差的原则行事的。他认为，期望收益与风 险之所以存在正比例关系，是因为在市场中已 没有套利的机会。
• 传统理论是所有人调整，这（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础 的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（ Arbitrage Pricing Theory，APT）。该模型由一个多因 素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律（ The Law of One Price），即两种风险－收益性质相同 的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收 益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依 赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的 实现。
投资组合A与C ßA =1； ßC = 0.5；E(rA) =10% ； E(rC) =6%
– C的收益是均衡收益吗? C的均衡收益与A的 均衡收益有什么关系?
– 答：运用相同ß 的两个分散组合的收益决定 关系
因素模型下充分分散组合的收益
由组合A与无风险资产按等权重构成新组合 D ，则D的期望收益率？贝塔？ E(rD) =0.5* 10% +0.5*4%=7% ßD =0.5*1+0.5*0=0.5；
即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零
• 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合 点，则C必然在直线上.
E (rC )rfC [E (rA)rf]
均衡结果 APT with Market Index Portfolio
E (rC )rfC [E (rA )rf]
E(r)%
E (rP)rfP [E (rM )rf]
第三节 套利定价理论 Arbitrage Pricing Theory
• 一、套利机会 • 二、无套利定价与套利投资组合 • 三、套利定价模型
引言
• 资本资产定价模型刻画了均衡状态下资产的期望收 益和相对市场风险测度ß值之间的关系。不同资产 的ß值决定它们不同的期望收益。
• 资本资产定价模型要求大量的假设，其中包括马柯 维茨在最初建立均值——方差模型时所作的一系列 假设，如每个投资者都是根据期望收益率和标准差 ，并使用无差异曲线来选择他的最佳组合。
• 假定作300000股D的空头，获取300万元，并用 这笔资金购股A、B、C各100000股，收益情况 如下：
套利投资组合的构造
零投资组合的可能收益率
股票
投资额
高利率
低利率
(万元) 高通胀 低通胀 高通胀 低通胀
A
100 -20
40
20
60
B
100
0
30
70
-20
C
100
90
-10
-20
70
D
-300 -45
少-1.2% 风险源可以有多个.
（二） APT论证推导
• 问题1：假设证券收益可用因素模型生成，有 足够多证券分散风险，那么一个充分分散组合 的风险具有什么特征？ – 充分分散组合概念：每种成分的比重足够小 以致使非系统风险可以忽略。E(e)=0, (e)=0. 则 • rp = E(rp) + ßpF • 2P = ß2P2F+2(eP) –p = ßP F
-69
-45 -108
零投资组合 0
25
15
1
2
在任何经济形势下，均能以无成本获得正的收益。
（三）套利与均衡
• 存在套利机会表明市场是非均衡的，而套利 者的行为会改变市场供求关系，最终导致套 利机会的消失，此时，达到市场均衡状态。
三、套利定价理论
• （一） APT的假设 • 1、证券收益可用因素模型生成 • 2、足够多证券分散风险 • 3、有效市场不允许有持续性的套利机会 • 4、投资者是不知足的：只要有套利机会就
• 同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件 作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。
几个概念
• 套利 – 套利指一个能产生无风险 盈利的交易策略
• 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利均衡） • 套利定价理论：在无套利均衡下资产价格的决
定 • 一价定律(the law of one price): ：两种资产未来
会不断套利，直到无利可图为止。 – 因此，不必对投资者风险偏好作假设：套
利机会无风险。
（二） APT论证推导
因素模型回顾 riE(ri)Fei
F为宏观因素未预期的变化。比如F可以是 GDP未预期的变化。如下：
ri E (ri)i,GD G P D eiP
如：多数人预期美国GDP年增长4%。假定 某股票贝塔为=1.2。如果实际GDP增长3% ，则这个股票实际收益将比预期少多少？
均衡下不可能出现这个图形。 – 若市场全部的套利机会消失时证券市场必
将处于均衡状态.
套利组合及套利过程
• 在资产组合， • A上做多头：(0.10+1.0F) ×1000万
• B上做空头：-（0.08+1.0F）×1000万
• 0.02 ×1000=20万（净收益）
因素模型下充分分散组合的收益
3、考虑不同贝塔的充分分散组合的收益决定? 例：：假设无风险利率为4%，两个充分分散
低实际利率
高通胀率 低通胀率 高通胀率 低通胀率
0.25 0.25 0.25 0.25
-20
20
40
60
0
70
30
-20
90
-20
-10
70
15
23
15
36
四种股票的收益率（%）统计
股票
现价
期望 收益
标准 差
A
相关系数 BC
D
A 10 25 29.58 1.00 -0.15 -0.29 0.68
B 10 20 33.91 -0.15 1.00 -0.87 -0.38
收益率
A B
10% 8%
A和B是否可以在图 中的条件下共存呢？
F
因素模型下充分分散组合的收益
• 你发现了摇钱树吗? • 投资A：1万 投资B：-1万 • 一买一卖， 风险为零 • `无论F为多少，利润=2% • (0.1+1*F)*1万-(0.08+1*F )*1万=0.02*1万 • AB组合收益差距消失,两条收益线重叠。市场
股票D 15
15
23
36
套利投资组合的构造 T与D的收益率（%）与相关系数
组合T 股票D
期望收益 25.83 22.25
标准差 6.40 8.58
相关系数 0.94
套利投资组合的构造
• T与D相关系数不为1，表明两者出现价格差并 不违背一价原则，但是，在任何情况下，组合 T都优于股票D，投资者可以卖空股票D，然后 再购买组合T，这样，便构成一个总投资额为 零的投资组合，即零投资组合。
套利的基本形式
• 时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同 种资产，包括现在对未来的套利和未来对未 来的套利。
• 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种 衍生证券的价格差异，通过低买高卖来赚取 无风险利润的行为。在这种套利形式中，多 种资产或金融工具组合在一起，形成一种或 多种与原来有着截然不同性质的金融工具， 这就是创造复合金融工具的过程。
M
[E(rM) - rf] Market Risk Premium
Risk Free
单因素证券市场线
1.0 Beta (Market Index)
总结：套利准则
• 套利准则一：如果两个充分分散化的投资组 合具有相同的β值，则它们在市场中必有相同 的预期收益。
• 套利准则二：如果两个充分分散化的投资组 合β值不同，则其风险溢价应正比例于β
市场均衡吗？
因素模型下充分分散组合的收益
期望收益率%
10
7 6 无风险利率 4
·D C
.5
APT资产定价
A 1.0 Beta（ F）
套利组合及套利过程
• 做D多头：（0.07+0.5F）×100万
• 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万
•
0.01×100万=1万
• 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，
则组合风险：

2 P


2 P

2 F


2 (eP )
又：
2(eP )
n 1
i1 n
2
2 (ei)

1 n
2 (ei)
其中，

2 (ei)


2 (ei) n
,又
E (ei)

0
于是有： rP E ( rP ) P F , 且： P P F
市场组 合的β为 多少？