当a<0时， 的单调区间为 ， ， 的单调减区间为(-1,0)，(0,1)
题二
答案：
题三
答案：B
金题精讲
题一
答案：(1)a≥2(2)
题二
答案：(1) 的极大值为 ， 的极小值为 (2)
详解：(1)
令 0得 或
x
+
0
-
0
+
由上表可知， 的极大值为 ， 的极小值为
(2) ，即 ，整理得
当 ， ，a取任意值.
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意的 都有 ，求实数a的取值范围.
题三
题面：已知两个函数 ，其中 为实数.
(1)对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围；
(2)对任意的 ，都有 成立，这样的实数 是否存在？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.
课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
要使f(x)≤0恒成立，只要f(x)max≤0即可．
由－lnk≤0，得k≥1.
(3)证明：由(2)知当k＝1时，有f(x)≤0在(1，＋∞)内恒成立，
又f(x)在[2，＋∞)内是减函数，f(2)＝0，
∴x∈(2，＋∞)时，有f(x)<0恒成立，
即ln(x－1)<x－2在(2，＋∞)内恒成立．
令x－1＝n2(n∈N*，且n>1.)
当k>0时，f(x)在 上是增函数，在 上是减函数；
(2)k≥1；（3）省略.
详解：(1)函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，f′(x)＝ －k.
当k≤0时，∵x－1>0，∴ >0，f′(x)>0，
则f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
当k>0时，令f′(x)＝0，即 －k＝0，得x＝1＋ .
当x∈ 时，f′(x)＝ －k> －k＝0，
当 ， ，
令 ，对 ，只要求得 的最小值即可.
，令 0得x=2.
x
2
-
0
+
由上表可知 的最小值为
故 .
题三
答案：(1)k≥45(2)k≥141
详解：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k
F’(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)
x
2
+
0
-
0
+
F(x)
从表中可知当x=2时有极小值F(2)=16-12-24+k≥0
简单学习网课程讲义
学科：数学
专题：导数的应用(三)
主讲教师：王春辉北京高级教师

北京市海淀区上地东路1号盈创动力大厦E座702B
免费咨询电话4008-110-818
总机：010-58858883
主要考点梳理
研究函数首先就是研究单调性，这个过程中，导数是个强大的工具.我们经常面临的问题是多参数问题，讨论是重要的方法，当然，如何回避讨论也是我们要关注的.
端点处F(-3)=-54-27+36+k≥0
∴当 时，)对任意的 ，F(x)≥0，即
(2)此问相当于求第二问中其实相当于f(x)的最大值≤g(x)的最小值.
,则 ，令 得 或
x
+
0
0
+
从表中可知 的极小值为
在端点处
故 的最小值为
，则 ，令可知 的极小值为
端点处 ，
故 的最大值为
解不等式
题一
题面：若函数f(x)＝ (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为 ，则a的值为________．
题二
题面：已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
(3)证明： ＋ ＋ ＋…＋ < (n∈N*且n>1)．
讲义参考答案
课后拓展练习
题一
答案：
详解：f′(x)＝ ，当x> 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－ <x< 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x＝ 时，f(x)＝ ＝ ，解得 ＝ <1，不合题意，∴f(x)max＝f(1)＝ ＝ ，∴a＝ －1
题二
答案：(1)当k≤0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
则f(x)在 上是增函数；
当x∈ 时，f′(x)＝ －k< －k＝0，∴f(x)在 上是减函数．
综上可知：当k≤0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
当k>0时，f(x)在 上是增函数，在 上是减函数．
(2)由(1)知，当k≤0时，f(2)＝1－k>0不成立，
故只考虑k>0的情况．
又由(1)知f(x)max＝f ＝－lnk，
易错小题
题一
答案：当a>0时， 的单调增区间为(-1,0)，(0,1)， 的单调减区间为 ，
当a<0时， 的单调区间为 ， ， 的单调减区间为(-1,0)，(0,1)
详解：当x≠0时， ，令 ，
令 =0可得x=±1
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
+
0
-
-
+
∴当a>0时， 的单调增区间为(-1,0)，(0,1)， 的单调减区间为 ，
易错小题
题一
题面：研究函数 的单调性.
题二
题面：设 ，则 的单调递增区间是.
题三
题面：函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
金题精讲
题一
题面：已知函数 .
(1)设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围.
(2)设函数 在区间 内是增函数，求 的取值范围.
题二
题面：已知函数 ， .
则lnn2<n2－1，即2lnn<(n－1)(n＋1)，
∴ < (n∈N*，且n>1)．
＋ ＋ ＋…＋ < ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，
即 ＋ ＋ ＋…＋ < (n∈N*，且n>1)成立．