导数讲义整理
导数专题例4:求y 2x23在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。
4.导数的运算
1 .基本函数的导数公式：
①C 0；(C为常数) ②x n n 1
nx ;
③(sin x)cos x;④(cos x)sin x;
⑤(e x)x e ;⑥(a x) a x ln a ;
⑦lnx 1 ;
J
x
⑧ l og a x
1 1
-log a e — x
x
例1：下列求导运算正确的是()
1 1
A. (x+—) 1 —
x x
1 B. (Iog2x)=
xln 2
C. (3x) ' =3g3e r\
D. (x cosx) '-2xsinx
例 2：设 f o (x) = sinx , f l (x)= f o'x), f 2(x) = f l'x),…，f n + 1(x) = f n'x), n € N ，则
f 2005(X)=
2.导数的运算法则
若u(x),v(x)的导数都存在，则
u'v uv'
2
v 例1:求下列函数的导数 例2:设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x V 0时，f (x)g(x)
()
A . sinx
B . sinx
C . cosx
D . cosx
' ' '
① u v) u v. ②(ku) ku' (k 为常数)
③(uv) u v uv . (u ) v (1) f (x) 2sinx 3cosx ⑵(x 1)(x 6)
(3)f(x) (4) f (x) x 1sinx
3x 2 5x e x
f(x)g(x) > 0.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(x) V 0的解集是()
3.复合函数的导数
形如y=f g(x) 的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤: 分解——>求导——>回代。
法则：y/ l x = y/ |u『|x 或者(f［g(x)］)' f'［g(x)］ g'(x).
例 1 求下列各函数的导数:
(1)已知y (1 cos2x)2
、定积分的基本原理
1. 定积分的概念
设函数f(x)在区间［a, b］上连续，用分点a= x0<x1<• • <xi —1<xi<--xn = b把区间［a, b］等分成n个
n
f
小区间，在每个小区间［xi —1, xi］上取任一点E i (i = 1, 2,…n)作和式ln= 1曰(&)△ x (其中△
x为小区间长度)，把门-^即厶x-0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间［a, b］上的定积分，
记作：
n
b b
lim f
f(x)dx f (x)dx l n im f a，即a'，= i1 (
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间［a , b ］叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。
2. 定积分的性质
b
b kf(x)dx k f (x)dx 「「丄
a a ( k 为常数)；
b
b b a f(x) g(x)dx a f(x)dx a g(x)dx
a
a a
b
c b f (x)dx f (x)dx f(x)dx »亠
) a a ' ' c ' '(其中 a v c v b )。
3. 定积分的几何意义
b
当f (x) 0时， f(x)dx 表示由x 轴，直线x=a,x=b 及曲线y
a 1 1
6 •由直线x = -，x = 2，曲线y = -及x 轴所围成图形的面积为
2 x
三、导数的应用
(1)设函数y f(x)在某个区间(a ，b )可导，如果f (X )0,则f(x)在此区间上为增函数; 如果f ' (x) 0，则f(x)在此区间上为减函数。
f (x)所围成的曲边梯形的面积
15 A. 7
C.^l n2
B. D 2ln2
1.
函数单调性
(1
)简单函数单调性
例1.已知函数y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数f(x)的导函数)，
中y f (x)的图象大致是(
例2.设f(x) ax3 x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间
(2)含有参数的函数单调性
例1:已知函数f (x) a x x lna，其中a (1,e]
(I )讨论 f (x)的单调性；(n )求证：对X1,X2 [ 1,1]，都有I f (xj f(X2) I e 2
32
例2：已知函数f(x)=x3-3ax 2+3x+1。
(I)设a=2,求f (x)的单调期间；
(U)设f (x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围
F面四个图象
例3：已知函数f (x)= x3-3ax+ 3x+ 1设f (x)在区间(2,3 )中至少有一个极值点，求a的范围
2. 极值与最值
在区间［a，b］上连续的函数f(x)在［a，b］上必有最大值与最小值。
但在开区间(a，b)内连续函数f (x)不一定有最大值，例如f(x) x3,x ( 1,1)。
(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。
函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例3：已知函数f(x) (x2 ax 2a2 3a)e x(x R),其中a R
⑴当a 0时，求曲线y f (x)在点(1,f (1))处的切线的斜率；
2
(2)当a彳时，求函数f(x)的单调区间与极值。
(1)恒成立与能成立问题
例1:设函数f(x) e x e x.(I)证明：f (x)的导数f (x) > 2 ; ( H )若对所有x > 0都有f (x) > ax，求a的取值范围.
例2:设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值.
(I)求a b的值；(U)若对于任意的x [0,]，都有f(x) c2成立，求c的取值范围.
1 a 例3:已知函数f (x) lnx ax 1 (a R).
x
1 (I )当a 一时，讨论f (x)的单调性；
2
1
一2
(U)设g(x) x 2bx 4.当a —时，若对任意为(0,2)，存在他 1,2，使
4
f(xj g(X2)，求实数b取值范围.
例4:设函数 f (x) x3 ax2 a2x m (a 0)
(1)求函数f (x)的单调区间;
(2)若函数f (x)在x [ 1,1]内没有极值点，求a的取值范围;
(3) 若对任意的a [3,6]，不等式f(x) 1在x [ 2,2]上恒成立，求m 的取值范围
交点个数的问题 已知x 3是函数f x aln 1 x x 2 10x 的一个极值点。
(I)求 a ; (H )求函数 的单调区间；(川)若直线y b 与函数y f x 的图象有3个交点，求b 的取值范围。
已知函数 f (x) = x 3- 2ax-1,a 工0 求 f (x) 的单调区间 f (x)在x= -1处取得极值，直线y= m 与y= f (x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范(2)
例
1：
例
2：
(1)
(2)
围。
13.已知函数f(x) (a -)x2 Inx. ( a R)
2
(I)当a 1时，求f(x)在区间［1,e］上的最大值和最小值；
(U)若在区间(1,)上，函数f(x)的图象恒在直线y 2ax下方，求a的取值范围.
1 a
14.已知函数f(x) In x ax 1 (a R).
x
1
(I )当a 时，讨论f (x)的单调性；
(U)设g(x) x2 2bx 4.当a丄时，若对任意为(0,2)，存在x? 1,2，使
4
f(xj g(X2)，求实数b取值范围.。