第二章 谓词逻辑一、原子命题的内部结构12.谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中,我们知道,命题逻辑的根本特征,就在于把原子命题作为基本的单位,对原子命题的内部结构不再进行分析。
在思维实际中,有时我们不涉及原子命题的内部结构,例如,命题推理只涉及命题之间的关系,这时命题逻辑的工具就足够了。
但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。
例如:推理1:所有的人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以,苏格拉底是要死的。
推理1包括三个不同的原子命题,经过相应的设定后,它的真值形式是()r q p →∧。
这不是一个重言式。
因此,这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。
这是因为,推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系,而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。
命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。
传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成,这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理,如推理1这样的三段论。
但是,词项逻辑的处理能力有着很大的局限。
例如:推理2:所有的罪犯或者是故意犯罪,或者是过失犯罪。
有些罪犯不是故意犯罪。
因此,有些罪犯是过失犯罪。
这个有效性同样明显的推理的判定,命题逻辑解决不了,词项逻辑同样解决不了。
为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定,需要提出新的逻辑工具,进—步分析原子命题的内部结构。
这就是谓词逻辑的任务。
在谓词逻辑中,原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。
谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念,联结词作为符号就是真值联结词。
谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。
(1) 这张桌子是方的。
(2) 陈先生是贾女土的丈夫。
显然,以上两个命题都是原子命题。
在(1)中,今F(x)表示“x 是方的”,a 表示“这张桌子”,这样,F(a)就表示“这张桌子是方的”,也就是说,命题(1)的表达式是F(a)。
这里,F 就是谓词,表示“方”这种性质;x 和a 就是个体词,表示具有“方”这种性质的个体。
其中,x 称为个体变项,它只表示某一个个体,而不表示一个确定的个体;a 称为个体常项,它表示一个确定的个体,即这张桌子。
在(2)中,令H(x ,y)表示“x 是y 的丈夫”,a 表示陈先生,b 表示贾女士,这样,H(a ,b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”,也就是说,命题(2)的表达式是H(a ,b)。
这里,H 是谓词,表示某人是某人的丈夫”这种关系,x 、y 和a 、b 是个体词,同样,x 和y 是个体变项,a 和b 是个体常项。
刻画一个个体的性质的谓词称为一元谓词,刻画两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词,一般地,刻画n 个个体之间的关系的谓词称为n 元谓词。
显然,谓词不能脱离个体词而独立存在。
如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词,即表示某种确定的性质或关系,则称为谓词常项;如果表示的是某个不确定的谓词,则称为谓词变项。
相应地,个体词也分为个体常项和个体变项,已如上述。
约定:以大写英文字母F 、G 、H …表示谓词常项或谓词变项,以小写字母a 、b 、c 、d …表示个体常项,以小写字母x 、y 、z 、u 、v 、w …表示个体变项。
一般地,如果F 是n 元谓词,则它的表达式也可记为F(n x x x ,,,21 )。
其中,n x x x ,,,21 称为谓词F 的主目。
量词、全称量词和存在量词一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。
例如,上面的例句(1)中F(x)断定“x 是方的”,但由于x 是个体变项,因而F(x)没有真假,不是命题。
如何使F(x)这样没有真假的表达 式变为有真假的命题呢?有两种方法:第一种方法,用个体常项取代个体变项,例如,令a 表示“这张桌子”,则F(a)就表示“这张桌子是方的”,这是命题,有真假。
这种方法称为解释。
后而将对此作进一步讨论。
第二种方法,对个体变项进行量化。
例如,对F(x)我们进一步断定,对所有的x 来说,F(x)成立;或者断定,至少存在一个x ,F(x)成立。
也就是断定所有的个体都是方的,或者断定至少存在一个个体是方的。
这样的断定就是命题,它们有真假。
在量化的过程中,我们使用了量词。
量词分为全称量词和存在量词。
全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系;存在量词断定存在(即至少有一个)个体具有相关谓词所表示的性质或关系。
∀表示全称量词,∃表示存在量词。
∀x F(x)表示“任一x 具有F 这种性质”。
∃x F(x)表示“存在x 具有F 这种性质”。
∀x ∀y G(x ,y)表示“任一x 和任一y 具有关系G ”。
∀x ∃yG(x ,y)表示“对任一x ,存在y ,x 和y 具有关系G ”。
∃x ∀yG(x ,y)表示“存在x ,对任一y ,x 和y 具有关系G ”。
∃x ∃yG(x ,y)表示“存在x ,并且存在y ,x 和y 具有关系G ”。
例如,令x 和y 表示自然数,即个体变项的取值范围是自然数,F(x)表示“x 是偶数”, G(x ,y)表示“x >y ”,则:∀x F(x)断定“任一自然数都是偶数”,这是个假命题。
∃x F(x)断定“存在自然数是偶数”,这是个真命题。
∀x ∀y G(x ,y)断定“任一自然数x 和任一自然数y ,都满足x >y ”,这是个假命题。
∀x ∃y G(x ,y)断定“对任一自然数x ,都存在自然数y ,满足x >y(即没有最小的自然数)”,这是个假命题。
∃x ∀yG (x ,y)断定“存在自然数x ,对任一自然数y ,满足x >y(即存在最大的自然数)”,这是个假命题。
∃x ∃y G(x ,y)断定“存在自然数x ,并且存在自然数y ,满足x >y ”,这是个真命题。
个体域量词直接刻画个体变项的量化。
这样,个体变项的取值范围就是一个重要的问题。
同—个带量词的命题,由于个体变项的取值范围不同,可以具有不同的真假值。
例如,令F(x)表示“x有思想”,那么,如果x的取值范围是人,则∀x F(x)断定“所有的人都有思想”,是真命题;而如果x的取值范围是动物,则∀x F(x)断定“所有的动物都有思想”,就成为假命题。
再如,在上面的讨论中,个体变项的取值范围是自然数,因而∀x∃y G(x,y)断定“没有最小的自然数”,是个假命题;但是,如果个体变项的取值范围改为整数,则∀x∃y G(x,y)变为断定“没有最小的整数”,这是个真命题。
个体变项的取值范围称为个体域。
个体域可根据需要作特殊的限制;如果不作特殊的限制,个体域就是指全域,即由所有能被思考的对象组成的域。
∀x F(x)和F(x)的含义是不同的。
∃x F(x)是断定存在个体具有性质F,这是命题。
如果至少有一个这样的个体存在,它就是真的,否则,它就是假的。
而F(x)则只表示某个不确定的个体具有F这种性质,至于这样的个体是否存在,如果存在的话是哪一个,都没有断定,因而不是命题。
∃x F(x)和F(a)的含义也是不同的。
∃x F(x)只是断定存在个体具有性质F,至于是哪一个个体,没有断定;F(a)则具体断定个体常项a所表示的那个个体具有性质F。
因此,如果∃x F(x)真,F(a)未必真;而如果F(a)真,则∃x F(x)一定真。
量词的辖域·约束个体变项和自由个体变项在一个表达式中,量词的约束范围称为量词的辖城。
约定:紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域,括号外的则不是;如果紧靠量词没有括号,那么,紧靠量词的不包含联结词的表达式是该量词的辖域,其他的则不是。
例如:(1) ∃x F(x) ∨G(x)(2) ∃x(F(x)∨G(x))在这两个表达式中,带横线的部分分别表示∃x的辖域。
在相关量词的辖域中出现的个体变项,称为被量词约束的个体变项,简称约束个体变项;不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。
例如,在F(x)和G(x,y)中,x和y都是自由个体变项;在∀x F(x)和∃x∀y G(x,y)中,x和y都是约束个体变项;在∀xG(x,y)中,x是约束个体变项,y是自由个体变项。
再如,在上面的(1)式中,F(x)中的x是约束个体变项,而G(x)中的x是自由个体变项。
(2)式中,x都是约束个体变项。
也就是说,在同一个表达式中,同一个个体变项可以既作为约束个体变项,又作为自由个体变项出现。
一个体变项在它的量词的辖域中出现,称为约束出现:否则,称为自由出现。
一个体变项在一公式中是自由的,当且仅当它在该公式中至少有一次自由出现;一个体变项在一公式中是约束的,当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。
也就是说,一个体变项在一公式中可以既是自由的,又是约束的。
因此,x在(1)式中既是自由的,又是约束的;而在(2)式中是约束的,不是自由的。
什么是一阶谓词逻辑上面讨论的谓词逻辑,是一阶谓词逻辑。
其中,谓词表达的性质和关系,只是个体的性质和个体之间的关系;量词只是对个体变项进行量化。
对象的性质和对象之间的关系,统称对象的属性。
问题在于,不光个体具有属性,属性本身也有属性,属性的属性仍然有属性,如此等等。
例如,“这面红旗”作为个体,具有“红色”这种性质,而“红色”这种性质,具有“鲜艳”这种性质。
因此,“红色”是个体的属性,而“鲜艳”则是属性的属性,自然同时也是个体的属性。
再如,“大张”和“小李”两个个体具有“同乡”这种关系,而“同乡”这种关系,具有“传递性”(即如果a和b是同乡,并且b和c是同乡,则a和c是同乡)。
因此,“同乡”是个体的属性,面“传递”则是属性的属性。
因此,在谓词逻辑中,表达同性的谓词具有层次,这就是渭词的阶。
所谓一阶谓词,就是只刻画个体属性的谓词。
一阶谓词的主目中,只出现个体变项。
当我们说存在某些个体,具有“红色”这种性质,这是在对个体变项进行量化;当我们说存在某些性质具有“鲜艳”这种性质,我们就是在对谓词变项进行量化了。
当我们涉及谓词的谓词,或者对谓词变项进行量化时,就进入了高阶谓词逻辑。
高阶逻辑的许多问题,可以化归为一阶逻辑。
我们只讨论一阶逻辑。
概括地说,一阶谓词逻辑,就是其中的谓词都是一阶谓词,其中的量词只刻画个体变项的量化。
13.谓词逻辑层次上自然语言的符号化现在,我们可以在一阶谓词逻辑的层次上,对自然语言进行符号化,这是对日常思维进行比命题逻辑更深入一步的逻辑分析的基础。
以下的讨论,都通过实例说明。
直言命题的表达式在传统逻辑中,断定个体是否具有某种性质的原子命题称为直言命题。
直言命题分为四种基本类型:全称肯定命题,全称否定命题,特称肯定命题和特称否定命题。
我们先讨论这四种基本命题的符号化。