第九讲几何最值及路径长预习如图，A , B 为定点，P 为直线I 上一点，若点提示：① 分析定点（A ，B ），动点（P 在直线I 上动），不变特征② 以I 为对称轴利用轴对称进行转化③ 由“两点之间，线段最短”确定位置 2.如图，A,B 为定点，MN 为直线I 上一可以移动的线段，且MN 长度固定，若点M 恰好使AM+MN+BN最短，请画出点M 的位置.提示：① 分析定点（A ，B ），动点（M ，N 在I 上动，且MN 长度固定），不变特征② 先平移BN ，使平移后的点N 与M 重合，将其转化为问题1③ 以I 为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置 3.如图，/ AOB=60°点P 在/ AOB 的平分线上，OP=10cm ,点E ，F 分别是/ AOB 两边OA , OB上的动点，当△ PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是 _____________________ .提示：①分析定点（P ），动点（E 在OA 上动，F 在OB 上动），不变特征② 分别以OA , OB 为对称轴，将P 对称过去，得到P i ，P 2③ 连接P 1P 2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解 1. P P 的位置. IM N知识点1.几何最值问题的处理思路① 分析定点、动点，寻找不变特征；② 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题.转化原则： 尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标.基本定理: 两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径， 常用模型、结构示例:①轴对称最值模型固定长度线段MN 在直线I 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN（或AM ），转化为 AM MB 解决.②折叠求最值结构最短的弦为垂直于直径的弦求FA+PB 的最小值, 使点在线异侧 求|PA-PB|的最大值,使点在线同侧求BA的最小值，转化为求BA'+A'N+NC的最小值（利用A'N+NC为定值）.2.解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②确定运动路径；通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证.③设计方案，求出路径长.典型题型1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3,如图，在矩形ABCD中，AB=4,P为斜边0B上一动点，贝U PA+PC的最小值为2. BC=8，E为CD边的中点.若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2,则当BP= __________________ 寸，四边形APQE的周长最小.3.如图，在厶ABC中，/ ACB=90°AB=5, BC=3. P是AB边上的动点（不与点B重合），将厶BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B'CP,连接B'A则B'A长度的最小值是____________________ .B'第5题图A D第4题图4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60°M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将厶AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN连接AC，则A'C长度的最小值是____________________ •5.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17,将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A处,折痕所在直线同时经过边AB，AD （包括端点），设BA' x,则x的取值范围是 ______________________ .6.如图，在△ABC 中，/ ABC=90°AB=6，BC=8，O 为AC 的中点，过O 作OE丄OF，OE, OF分别交射线AB，BC于E，F，连接EF，则EF长度的最小值为__________________ .AB F C7.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF •连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接DH •若正方形的边长为2,则DH长度的最小值是 ___________________________________________ .8.如图，△ABC，^ EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点皿.当厶EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是 _______________________ :9.如图，AB是。
O的一条弦，点C是。
O上一动点，且/ ACB=30°点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与。
O交于G，H两点•若。
O的半径为7,则GE+FH的最大值为 _____________________________ :H10.如图，直线I 与半径为4的。
O相切于点A, P是。
O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB丄l，垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y，则（x-y）的最大值是 ______________________ :11.如图，边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O,把BA与CD分别绕点B和点C逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD随之变成四边形A'BCD 设A'C, BD交于点O',若旋转了60°则点O运动到点O'所经过的路径长为 _________________ .A12.如图，木棒AB的长为2a,斜靠在与地面0M垂直的墙壁ON上，且与地面的倾斜角（/ ABO）为60°当木棒A端沿NO向下滑动到A' , B端也随之沿直线0M向右滑动到B'，若AAA =（巧-72）a，则木棒的中点P随之运动的路径长为 _____________________________ :13.已知等边三角形ABC的边长为4,点D是边BC的中点，点E在线段BA上由点B向点A运动,连接DE,以DE为边在DE右侧作等边三角形DEF :设△DEF的中心为0,则点E由点B向点A运动的过程中，点0运动的路径长为 ________________ :14.如图，点A是第一象限内横坐标为2、、3的一个定点，AC丄x轴于点M，交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30°, BA丄PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变, B点随之运动：当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________________________________________________ :几何最值及路径长（随堂测试）1.如图，已知直线a // b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距 离为3，AB=2,30 .在直线a 上找一点 M ，在直线b 上找一点N ,满足MN 丄a 且AM+MN+NB 的值最小，则此时AM+NB=（）2.如图，菱形ABCD 的边长为2，Z C=60°当点A 在x 轴上运动时，点 运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ）3— A . B . .3 C . 2 2 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点A 的坐标为（2，0）,/COA=60°点D 是线段AB 上一动点，过点B 作BN 丄CD 于点N ,当点D 从点A 运动到点B 的过程中，点N 运动的路径长 为（ ）A . nB . 2nC .巧D . 23 3 几何最值及路径长（习题）例题示范例1:如图，在矩形ABCD 中，AB=12, AD=3, E , F 分别为AB , CD 上的两个动点，则AF FE EC的最小值为 _____________ .例2:如图，已知 AB=10，点C , D 在线段AB 上，且AC=BD=2 .P 是线段CD 上的一动点，分别以AP , PB 为边在线段AB 的同侧作等边三角形AEP 和等边三角形PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G .当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ____________________ .B . 8C . 10D . 12D 随之在y 轴上运动，在A . 6 Bab巩固练习1.如图，正方形ABCD 的面积为12,厶ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为（ ）2.如图，已知正方形 ABCD 的边长为3,点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积是 ______________________ . 3.如图，在菱形ABCD 中，/ A=60° AB=3，O A ，O B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是边4.如图，在Rt △ AOB 中，OA=OB=3.2，O O 的半径为1,点P 是AB 边上的动点，过点 P 作O O 的一条切线PQ（点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为 ______________________________________ • 5.将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示的图形，重叠部分是一个三角形，则这 个三角形面积的最小值是 _____________________________ •6.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=5, AD=13.如图所示，折叠纸片，使点 A 落在BC 边上的C . 2 3D . 2込CD ，O A 和。
B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是第2题图BCFP EA D 第3题图A 处，折痕为PQ ,当点A 在BC 边上移动时，折痕的端点P , Q 也随之移动•若限定点P , Q 分 别在AB, AD 边上移动，则点A 在BC 边上可移动的最大距离为 ________________________________________________ :7.如图，在△ ABC 中，/ ACB=90° AC=6, BC=2，点A , C 分别在x 轴、y 轴上：当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点B 到原点的最大距离3 8. 如图，已知直线y=—x-3与x 轴、y 轴分别交于A , B 两点，P 是以C(0, 1)为圆心，1为半径的4圆上一动点，连接PA , PB.则厶PAB 面积的最大值是 _____________________ :9. 如图，正方形ABCD 的边长是2, M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止：连接EM ,过M 作EM 的垂线交射线BC 于点F ，连接EF :若P 是MF 的中点，则在点E 运动的过 程中，点P 运动的路径长为 ________________ :10. 如图，正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段EF的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动：如BAy*果点E从点A出发，按A-B-C-D-A的方向滑动到点A为止，同时点F从点B出发，按B-C-D-A-B的方向滑动到点B为止，则在这个过程中，线段EF的中点M经过的路径所围成的图形面积为_______________ •11.如图，以G(0, 1)为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为OG上一动点，CF丄AE于点F •当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为______________ •。