5
故a的范围为
[
52
,)
Y
5
即 a 52
5
1 O
10
X0
b2 4ac 0
1.两个正根
x1
x2
b a
0
x1
x2
c a
0
2、两个负根
x1
x2
b a
0
x1
x2
c a
0
3、一正根一负根
x1·x2=
c a
0
（二）k 分布
1.两根均大于k
b2 4ac 0
af
(k
)
0
b
k
2a
2.两根均小于k
b2 4ac 0
af (k) 0
b
k
2a
3、一根小k另一根大于k
af (k) 0
4.有且只有一个根在某区间内
f (k1 ) f (k2 ) 0
作业
《练习册》 P65例3、p66 ex4、ex6、 ex9
《优化》课时作业（15）ex7、ex8、ex11
恒成立问题及根的分布
一、一元二次不等式恒成立问题
（一）对一切实数恒成立
不等式
ax 2
bx c
0(a
0)
恒成立的条件是？
a 0 0
不等式
ax 2
bx c
0(a
0)
恒成立的条件是？
a
0 0
注意：当无“a 0”条件时，应该讨论a=0和a 0 两种情况；
不等式 a f (x)恒成立的条件是 a f (x)min 不等式 a f (恒x)成立的条件是 a f (x)max
又∵
f (1) 5,
f (10)
52 5
∴
f (x)max
f (10)
52 5
∴
a
52 5
故a的范围为
[
52 5
,)
解注法：二分（离图参象数法法）是（将可参不数画孤图立）到：不等式的一端，要求 参设数f (x前) =的x系2 数ax（ 4（含xx的[1式,10子]）），∵符f号(x确) 定0恒，成否立则不能用 分即离f (参x)位数于法[！1，！1！0]内的图象在X轴下方或在X轴上。
求参数a的取值范围；
解法一（分离参数法）：由原不等式得 ax x2 4
∵ x [1,10] ∴ a x2 4 x 4
x
x
设 f (x) x 4（ x [1,10]） 即 a f (x)恒成立，
x
∴ a f (x)max 而函数 f (x) 在[1，2]上为减函数，
在[2，10]上为增函数（注：此函数为双勾函数）
∴
f (1) 5 a 0
f
(10)
104
10a
0
即a 52 5
故a的范围为
[52 5
,)
解法三（最值法）：设 f (x) = x2 ax 4（x [1,10]），
则原不等式恒成立相当于 f (x)max 0
因 f (x)
=
x2
ax
4
=
(x
a)2 2
4
a2 4
∴ 对称轴为 x a 2
例1.已知关于x的函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3 的图象都在X轴上方，求实数k的取值范围；
例2.若关于x的不等式sinxcosx+cos2x－a>0对一 切实数恒成立，求实数a的取值范围；
（二）对特定区间恒成立
已知关于x的不等式 x2 ax 4 0 在区间[1，10]上恒成立，
（1）当
a 2
11,即a 11 时，f
2
( x) m ax
f (10)
104
10 a
0
∴ a 52
5
又因 a 11
∴ 52 a 11
5
（2）当 a
2
11,即a 11 时，
2
f (x)max
f (1) 5 a 0
∴a5
又∵ a 11 ∴ a 11
综上所述：52 a 11或 a 11