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2015 年 04 月 19 日九年级数学组的初中数学组卷(扫描二维码可查看试题解析)一．解答题（共 17 小题）1 ．（2014?辽阳）如图，在△ ABC，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O分别交 AC、 BC 于点 D、 E，点 F 在 AC 的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线；（2）若 AB=5 ， sin ∠ CBF=，求 BC 和 BF 的长．2 ．（2014?吉林）如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心， OA 为半径的圆交 AB 于点 D，延长 AO 交⊙O于点 E，连接 CD，CE，若 CE 是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证： CD 是⊙O的切线；（2）若 BC=3 ， CD=4 ，求平行四边形 OABC 的面积．3 ．（2014?天水）如图，点 D 为⊙O上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA= ∠ CBD．（1）判断直线 CD 和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点 B 作⊙O的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC=2 ，⊙O 的半径是 3，求 BE的长．4 ．（2013?德州）如图，已知⊙O的半径为 1 ， DE 是⊙O的直径，过点 D 作⊙O的切线 AD ， C 是 AD 的中点， AE 交⊙O于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形．（1）求 AD 的长；（2） BC 是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．5 ．（2013?菏泽）如图，BC 是⊙O的直径， A 是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O的切线，交 BA 的延长线于点D，取 CD 的中点 E， AE 的延长线与BC 的延长线交于点P．（1）求证： AP 是⊙O的切线；（2） OC=CP ， AB=6 ，求 CD 的长．6 ．（2013?聊城）如图，AB 是⊙O的直径， AF 是⊙O 切线， CD 是垂直于AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与AF 相交于点 F， CD=，BE=2．求证：（1）四边形 FADC 是菱形；（2） FC 是⊙O 的切线．7 ．（2012?北京）已知：如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点， OD⊥ BC于点D，过点 C 作⊙O的切线，交 OD 的延长线于点E，连接 BE．（1 ）求证： BE 与⊙O相切；（2 ）连接 AD 并延长交BE 于点 F，若 OB=9 ， sin∠ ABC=，求BF的长．8 ．（2012?济宁）如图，AB 是⊙O的直径， AC 是弦， OD⊥ AC于点 D，过点 A 作⊙O的切线 AP， AP 与 OD 的延长线交于点P，连接 PC、 BC．......（1）猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证： PC 是⊙O的切线．9 ．（2012?德阳）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的⊙O上一点， CH⊥ AB于点 H，过点 B 作⊙O的切线交直线AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交BD 于点 F，直线 CF 交 AB 的延长线于G．（1）求证： AE?FD=AF?EC ；（2）求证： FC=FB；（3）若 FB=FE=2 ，求⊙O的半径 r 的长．10 ．（2012?黔南州）已知：如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O上，点 D 在 AB 的延长线上，∠ BCD=∠A．（1 ）求证： CD 为⊙O的切线；（2 ）过点 C 作 CE⊥ AB于 E．若 CE=2 ，cosD=，求AD的长．11 ．（ 2012?广安）如图，在 △ ABC 中，∠ ABC= ∠ ACB 以，AC 为直径的 ⊙O 分别交AB 、 BC 于点 M 、 N ，点 P 在 AB 的延长线上 ，且 ∠ CAB=2 ∠ BCP ．（ 1 ）求证：直线 CP 是⊙O 的切线 ．（ 2 ）若 BC=2， sin ∠ BCP= ，求点 B 到 AC 的距离 ．（ 3 ）在第（ 2）的条件下 ，求 △ ACP 的周长 ．12 ．（ 2012?黄冈）如图，在 △ ABC 中， BA=BC ，以 AB 为直径作半圆⊙ O ，交 AC于点 D ，过点 D 作 DE ⊥BC ， 垂足为点E ．（ 1 ）求证： DE 为 ⊙O 的切线 ；（ 2 ）求证： BD 2=AB?BE ．13 ．（2011?芜湖）如图，已知直线 PA 交⊙O于 A、 B 两点， AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且 AC 平分∠ PAE ，过 C 作 CD 丄 PA，垂足为 D ．（1）求证： CD 为⊙O的切线；（2）若 DC+DA=6 ，⊙O 的直径为 10 ，求 AB 的长度．14 ．（2011?凉山州）如图，已知△点 F，点 E 为的中点，连接BE交AC于点ABC，以 BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于M ， AD 为△ABC 的角平分线，且 AD⊥BE，垂足为点 H．（1）求证： AB 是半圆 O 的切线；（2）若 AB=3 ， BC=4 ，求 BE 的长．15 ．（2011?乐山）如图， D 为⊙O上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA= ∠ CBD．（1）求证： CD 是⊙O的切线；（2）过点 B 作⊙O的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=6 ， tan ∠ CDA=，求 BE 的长．16 ．（2011?广安）如图所示， P 是⊙O 外一点， PA 是⊙O 的切线，A 是切点， B 是⊙O 上一点，且 PA=PB ，连接 AO 、 BO、 AB，并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q．（1 ）求证： PB 是⊙O的切线；（2）求证： AQ?PQ=OQ?BQ ；（3 ）设∠ AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．17 ．（2012?达州）如图， C是以 AB 为直径的⊙O上一点，过 O 作 OE⊥ AC于点 E，过点 A 作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，连接 CF 并延长交BA 的延长线于点P．（1 ）求证： PC 是⊙O的切线．（2 ）若 AF=1 ， OA=，求PC的长．......2015 年 04 月 19 日九年级数学组的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共 17 小题）1．（2014?辽阳）如图，在△ ABC，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O分别交 AC、 BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且∠ CBF= ∠ CAB．（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线；（2）若 AB=5 ， sin ∠ CBF=，求 BC 和 BF 的长．考切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三点：角形．专几何综合题．题：分（ 1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三析：角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．（ 2）利用已知条件证得△ AGC∽△ ABF利，用比例式求得线段的长即可．解（ 1）证明：连接 AE，答：∵ AB是⊙O 的直径，......∴∠AEB=90 °，∴∠1+ ∠ 2=90 °．∵AB=AC ，∴∠ 1=∠ CAB．∵∠ CBF=∠ CAB，∴∠1= ∠ CBF∴∠CBF+ ∠ 2=90 °即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线 BF 是⊙O的切线．（2）解：过点 C 作 CG⊥ AB于 G．∵ sin ∠ CBF=，∠ 1= ∠ CBF ，∴ sin ∠ 1=，∵在 Rt △ AEB中，∠AEB=90 °AB=5，，∴BE=AB?sin ∠ 1=，∵AB=AC ，∠ AEB=90 °，∴ BC=2BE=2，在 Rt△ABE 中，由勾股定理得AE==2，∴ sin∠ 2===，cos∠ 2= ==，在Rt△CBG 中，可求得 GC=4 ，GB=2 ，∴ AG=3 ，∵GC∥ BF ，∴△AGC∽△ABF ，∴∴ BF==点本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学评：生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．2．（2014?吉林）如图，四边形 OABC 是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB 于点 D，延长 AO 交⊙O于点 E，连接 CD， CE，若 CE 是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证： CD 是⊙O的切线；（2）若 BC=3 ， CD=4 ，求平行四边形 OABC 的面积．考切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．点：专证明题．题：分（ 1）连接 OD ，求出∠ EOC=∠ DOC，根据 SAS 推出△ EOC≌△ DOC，推出析：∠ ODC=∠ OEC=90°根，据切线的判定推出即可；（ 2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4 ，根据平行四边形性质求出OA=3 ，根据平行四边形的面积公式求出即可．解（ 1）证明：连接 OD ，答：∵ OD=OA，∴∠ODA=∠ A，∵四边形 OABC 是平行四边形，∴OC∥ AB，∴∠EOC=∠ A，∠COD=∠ ODA，∴∠EOC=∠ DOC，在△EOC 和△DOC 中∴△EOC≌△ DOC（SAS），∴∠ODC=∠ OEC=90 °，即OD⊥DC，∴ CD是⊙O的切线；（2）解：∵△ EOC≌△ DOC，∴ CE=CD=4 ，∵四边形 OABC 是平行四边形，∴OA=BC=3 ，∴平行四边形OABC 的面积 S=OA × CE=3 × 4=12 ．点本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解评：此题的关键是推出△EOC≌△DOC．3．（2014?天水）如图，点 D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA= ∠ CBD．（1）判断直线 CD 和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点 B 作⊙O的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC=2 ，⊙O 的半径是 3，求 BE的长．考切线的判定与性质．点：专几何图形问题．题：分（ 1）连接 OD ，根据圆周角定理求出∠ DAB+∠ DBA=90°求，出∠ CDA+∠ ADO=90°，析：根据切线的判定推出即可；（ 2）根据勾股定理求出 DC，根据切线长定理求出 DE=EB ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．解解：（ 1）直线 CD 和⊙O 的位置关系是相切，答：理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ ADB=90 °，∴∠ DAB+ ∠ DBA=90 °，∵∠ CDA= ∠ CBD，∴∠ DAB+ ∠ CDA=90 °，∵OD=OA，∴∠DAB= ∠ ADO，∴∠CDA+ ∠ ADO=90 °，即OD⊥CE，∴直线 CD 是⊙O 的切线，即直线 CD 和⊙O 的位置关系是相切；（ 2）∵AC=2 ，⊙O的半径是 3，∴OC=2+3=5 ，OD=3 ，在Rt△CDO 中，由勾股定理得： CD=4 ，∵ CE切⊙O于 D ，EB 切⊙O于 B，∴ DE=EB ，∠ CBE=90 °，设 DE=EB=x ，在 Rt △CBE 中，由勾股定理得 ： CE 2 =BE 2+BC 2，则（ 4+x ） 2=x 2+ （ 5+3 ） 2，解得 ： x=6 ，即 BE=6 ．点本题考查了切线的性质和判定 ，勾股定理 ，切线长定理 ，圆周角定理 ，等腰三角形评： 的性质和判定的应用 ，题目比较典型 ，综合性比较强 ，难度适中 ．4．（ 2013?德州 ）如图 ，已知 ⊙O 的半径为 1， DE 是 ⊙O 的直径 ，过点 D 作⊙O 的切线 AD ， C 是 AD 的中点 ，AE 交 ⊙O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形 ．（ 1 ）求 AD 的长 ；（ 2 ） BC 是 ⊙O 的切线吗 ？若是，给出证明 ；若不是 ，说明理由 ．考切线的判定与性质 ；直角三角形斜边上的中线 ；平行四边形的性质 ．点：专计算题．题：分（ 1）连接 BD，由 ED 为圆 O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ DBE为直析：角，由 BCOE 为平行四边形，得到 BC 与 OE 平行，且 BC=OE=1 ，在直角三角形 ABD 中， C 为 AD 的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD 的长即可；（ 2）连接 OB，由 BC 与 OD 平行， BC=OD ，得到四边形 BCDO 为平行四边形，由AD 为圆的切线，利用切线的性质得到 OD 垂直于 AD ，可得出四边形 BCDO 为矩形，利用矩形的性质得到 OB 垂直于 BC，即可得出 BC 为圆 O 的切线．解解：（ 1）连接 BD，∵ DE是直径∴∠ DBE=90°，答：∵四边形 BCOE 为平行四边形，∴BC∥ OEBC=OE=1，，在Rt△ABD 中， C 为 AD 的中点，∴ BC= AD=1 ，则 AD=2 ；（ 2）是，理由如下：如图，连接 OB．∵ BC∥OD， BC=OD ，∴四边形 BCDO 为平行四边形，∵AD为圆O 的切线，∴ OD⊥ AD，∴四边形 BCDO 为矩形，∴OB⊥ BC，则 BC 为圆 O 的切线．点此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的评：判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．5．（2013?菏泽）如图， BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O的切线，交 BA 的延长线于点D，取 CD 的中点 E， AE 的延长线与BC 的延长线交于点P．（1）求证： AP 是⊙O的切线；（2） OC=CP ， AB=6 ，求 CD 的长．考切线的判定与性质；解直角三角形．点：分（ 1）连接 AO ， AC（如图）．欲证 AP 是⊙O 的切线，只需证明OA⊥ AP 即可；析：（2）利用（1）中切线的性质在Rt △ OAP中利用边角关系求得∠ ACO=60°然．后在Rt △ BAC、 Rt △ ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4．解（ 1）证明：连接 AO ，AC（如图）．答：∵ BC是⊙O 的直径，∴∠BAC= ∠ CAD=90 °．∵E是 CD 的中点，∴CE=DE=AE ．∴∠ ECA= ∠ EAC．∵ OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA．∵ CD是⊙O的切线，∴CD⊥ OC．∴∠ECA+ ∠ OCA=90 °．∴∠EAC+ ∠ OAC=90 °．∴OA⊥ AP．∵A是⊙O 上一点，∴AP是⊙O的切线；（ 2）解：由（ 1）知 OA⊥ AP．在Rt△OAP 中，∵∠ OAP=90°，OC=CP=OA ，即 OP=2OA ，∴ sinP= = ，∴∠P=30 °．∴∠AOP=60 °．∵OC=OA，∴∠ACO=60 °．在Rt△BAC 中，∵∠ BAC=90°，AB=6 ，∠ ACO=60°，∴ AC==2，又∵在 Rt△ACD 中，∠ CAD=90°，∠ ACD=90° ﹣∠ACO=30°，∴ CD===4 ．点本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的评：关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．6．（2013?聊城）如图， AB 是⊙O的直径， AF 是⊙O切线， CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与AF 相交于点F， CD=，BE=2．求证：（1）四边形 FADC 是菱形；（2） FC 是⊙O 的切线．考切线的判定与性质；菱形的判定．.. . . ..点：专压轴题 ．题：分（ 1）首先连接 OC ，由垂径定理 ，可求得 CE 的长 ，又由勾股定理 ，可求得半径OC析： 的长 ，然后由勾股定理求得AD 的长 ，即可得 AD=CD ，易证得四边形FADC 是平行四边形 ，继而证得四边形FADC 是菱形 ；（ 2）首先连接 OF ，易证得 △ AFO ≌△ CFO ，继而可证得 FC 是 ⊙O 的切线 ．解证明 ：（ 1 ）连接 OC ，答： ∵ AB 是 ⊙O 的直径 ， CD ⊥ AB ，∴ CE=DE= CD=×4 =2 ，设 OC=x ，∵ BE=2 ，∴ OE=x ﹣2 ，在 Rt △OCE 中， OC 2=OE 2+CE 2，22 + （ 2 2，∴x = （ x ﹣ 2） ）解得 ： x=4 ，∴ OA=OC=4 ，OE=2 ，∴ AE=6 ，在 Rt △AED 中， AD==4，∴ AD=CD ，∵ AF 是 ⊙O 切线 ， ∴ AF ⊥ AB ，......∵CD⊥ AB，∴ AF ∥ CD，∵CF∥ AD，∴四边形 FADC 是平行四边形，∵AD=CD ，∴平行四边形FADC 是菱形；（2）连接 OF， AC，∵四边形 FADC 是菱形，∴ FA=FC ，∴∠ FAC= ∠ FCA ，∵ AO=CO，∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠FAC+ ∠ OAC=∠ FCA+ ∠ OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC⊥FC，∵点 C 在⊙O 上，∴ FC是⊙O 的切线．......点此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等评：三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．7．（2012?北京）已知：如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点， OD⊥ BC于点 D，过点 C 作⊙O的切线，交 OD 的延长线于点E，连接 BE．（1）求证： BE 与⊙O相切；（2）连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9 ， sin ∠ ABC=，求 BF 的长．考切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．点：专几何综合题．题：分（ 1）连接 OC，先证明△OCE≌△OBE，得出 EB⊥OB，从而可证得结论．析：解答：（2）过点 D 作 DH⊥ AB，根据 sin ∠ ABC=，可求出 OD=6 ， OH=4 ， HB=5 ，然后由△ADH∽△ AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF 的长．证明：（ 1 ）连接 OC，∵OD⊥ BC，∴∠COE=∠ BOE，在△OCE 和△OBE 中，∵，∴△OCE≌△ OBE，∴∠OBE= ∠ OCE=90 即°，OB⊥ BE，∵OB 是⊙O半径，∴ BE与⊙O相切．（ 2）过点 D 作 DH⊥ AB，连接 AD 并延长交BE 于点 F，∵∠DOH=∠ BOD，∠DHO=∠ BDO=90 °，∴△ODH∽△OBD，∴==又∵sin ∠ABC= ， OB=9 ，∴ OD=6 ，易得∠ABC=∠ODH，∴ sin∠ ODH=，即=，∴ OH=4 ，∴ DH==2，又∵△ ADH∽△ AFB，∴=，=，∴ FB=．点此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握评：切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．8．（2012?济宁）如图， AB 是⊙O的直径， AC 是弦， OD⊥ AC于点 D ，过点 A 作⊙O的切线 AP， AP 与 OD 的延长线交于点P，连接 PC、 BC．（1）猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证： PC 是⊙O的切线．考点：分析：切的判定与性；全等三角形的判定与性；三角形中位定理；周角定理．（1）根据垂径定理可以得到 D 是 AC 的中点， OD 是△ ABC的中位，根据三角形的中位定理可以得到 OD∥BC， CD= BC；（2）接 OC， OP 与⊙O 交于点 E，可以得△ OAP≌△ OCP，利用全等三角形的角相等，以及切的性定理可以得到：∠ OCP=90°，即OC⊥PC，即可等．解答：（ 1）猜想： OD∥ BC，OD= BC．明：∵ OD⊥AC，∴AD=DC∵AB是⊙O的直径，∴ OA=OB⋯2分∴OD是△ ABC的中位，∴OD∥ BC，OD= BC（2）明：接 OC， OP 与⊙O交于点 E．∵ OD⊥ AC，OD 心 O，∴，即∠ AOE=∠ COE在△OAP 和△OCP 中，，∴△OAP≌△O CP，∴∠OCP=∠ OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠ OAP=90 °．∴∠ OCP=90 °即，OC⊥ PC∴ PC是⊙O 的切线．点本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的评：问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．9．（2012?德阳）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的⊙O上一点， CH⊥ AB于点 H ，过点 B 作⊙O 的切线交直线AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线CF 交 AB 的延长线于G．（1）求证： AE?FD=AF?EC ；（2）求证： FC=FB；（3）若 FB=FE=2 ，求⊙O的半径 r 的长．......考切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的点：中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专证明题；几何综合题；压轴题．题：分（ 1）由 BD 是⊙O的切线得出∠ DBA=90 °推，出 CH∥ BD，证△ AEC∽△ AFD得，出比析：例式即可；（ 2）连接 OC， BC，证△ AEC∽△ AFD ，△ AHE∽△ ABF推出，BF=DF ，根据直角三角形斜边上中线性质得出 CF=DF=BF即可；（ 3）求出 EF=FC，求出∠ G=∠ FAG推，出 AF=FG ，求出 AB=BG ，求出∠ FCB= ∠ CAB 推出 CG 是⊙O切线，由切割线定理得出（2+FG）2=BG× AG=2BG2，在Rt△ BFG解答：中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣ BF2，推出 FG2﹣ 4FG﹣ 12=0 ，求出 FG 即可．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠ DBA=90 °，∵ CH⊥ AB，∴ CH∥ BD，∴△AEC∽△AFD ，∴=，∴AE?FD=AF?EC ．（2）证明：连接 OC， BC，∵ CH∥ BD，∴△ AEC∽△ AFD ，△ AHE∽△ ABF ，∴=，=，∴==，∵CE=EH （E 为 CH 中点），∴BF=DF ，∵ AB为⊙O的直径，∴∠ACB= ∠ DCB=90 °，∵BF=DF ，∴ CF=DF=BF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CF=BF．（3）解：∵ BF=CF=DF 已（证）， EF=BF=2 ，∴ EF=FC ，∴∠ FCE= ∠ FEC ，∵∠AHE= ∠ CHG=90 °，∴∠FAH+ ∠ AEH=90 °，∠G+∠ GCH=90 °，∵∠AEH= ∠ CEF ，∴∠G=∠ FAG，∴AF=FG ，∵ FB ⊥ AG，∴AB=BG ，∵BF切⊙O于 B，∴∠ FBC= ∠ CAB，∵ OC=OA ，CF=BF ，∴∠ FCB= ∠ FBC ，∠ OCA=∠ OAC ，∴∠ FCB= ∠ CAB ，∵∠ ACB=90 °，∴∠ ACO+∠ BCO=90 °，∴∠ FCB+ ∠ BCO=90 °，即 OC ⊥CG ，∴ CG 是 ⊙O 切线 ，∵ GBA 是 ⊙O 割线 ， AB=BG （已证 ），FB=FE=2 ，∴由切割线定理得 ：（ 2+FG ） 2=BG × AG=2BG 2，在 Rt △BFG 中，由勾股定理得 ： BG 2=FG 2﹣ BF 2，2，∴ FG ﹣ 4FG ﹣ 12=0 解得 ： FG=6 ， FG= ﹣ 2（舍去 ），由勾股定理得 ：AB=BG==4， ∴⊙O 的半径是 2．点本题考查了切线的性质和判定 ，相似三角形的性质和判定 ，等腰三角形的性质和判......评：定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．10 ．（2012?黔南州）已知：如图，点 C在以 AB 为直径的⊙O上，点 D 在 AB 的延长线上，∠ BCD= ∠ A．（1 ）求证： CD 为⊙O的切线；（2 ）过点 C 作 CE⊥ AB于 E．若 CE=2 ，cosD=，求AD的长．考切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．点：分（ 1）先连接 CO，根据 AB 是⊙O直径，得出∠ 1+ ∠ OCB=90 °再，根据 AO=CO ，得析：出∠1=∠A，最后根据∠4=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD 为⊙O的切线；（ 2）根据 OC⊥ CD，得出∠ 3+ ∠ D=90 °再，根据 CE⊥ AB，得出∠ 3+ ∠ 2=90 °从，而得出 cos∠2=cosD，再在△OCD 中根据余弦定理得出CO 的值，最后根据⊙O的半径为，即可得出AD 的长．解证明：（ 1 ）连接 CO，答：∵ AB是⊙O 直径∴∠1+ ∠ OCB=90 °，∵AO=CO，......∴∠1= ∠ A．∵∠4= ∠ A，∴∠4+ ∠ OCB=90 °．即∠OCD=90°．∴OC⊥ CD．又∵OC是⊙O 半径，∴ CD为⊙O的切线．（2）∵ OC⊥ CD于 C，∴∠3+ ∠ D=90 °．∵CE⊥ AB于 E，∴∠3+ ∠ 2=90 °．∴∠2= ∠ D．∴cos ∠ 2=cosD ，在△OCD 中，∠ OCD=90°，∴cos ∠ 2=，∵cosD= ， CE=2 ，∴=，tanD==，∴CO= ，∴⊙O的半径为．......∴ OD== =，AD=．点本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接评：圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，同时考查了三角函数的知识．11 ．（2012?广安）如图，在△ ABC中，∠ABC= ∠ ACB以，AC 为直径的⊙O分别交 AB、 BC于点 M 、N ，点 P 在 AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线 CP 是⊙O 的切线．（2）若 BC=2，sin∠ BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（ 2）的条件下，求△ ACP的周长．考切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解点：直角三角形．专几何综合题；压轴题．......题：分（ 1）根据∠ ABC= ∠ ACB且∠析：得到2∠BCP+2∠BCA=180°，CAB=2 ∠ BCP在，△ ABC中∠ ABC+ ∠ BAC+ ∠ BCA=180 °，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线 CP 是⊙O的切线．（ 2）作 BD⊥ AC于点 D ，得到 BD∥ PC，从而利用sin∠ BCP=sin∠ DBC==，求得DC=2，再根据勾股定理求得点 B 到 AC 的距离为 4．（ 3）先求出 AC 的长度，然后利用BD∥ PC的比例线段关系求得CP 的长度，再由勾股定理求出AP 的长度，从而求得△ACP 的周长．解解：（ 1）∵∠ ABC=∠ACB 且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，答：∠ ABC+∠ BAC+∠ BCA=180°∴2 ∠ BCP+2 ∠ BCA=180 °，∴∠ BCP+ ∠ BCA=90 °，又 C 点在直径上，∴直线 CP 是⊙O的切线．（2）如右图，作 BD⊥ AC 于点 D，∵ PC⊥ AC∴BD∥ PC∴∠PCB= ∠ DBC∵BC=2 ， sin ∠ BCP= ，∴ sin∠ BCP=sin∠ DBC==，解得： DC=2 ，∴由勾股定理得： BD=4 ，∴点 B 到 AC 的距离为4．（3）如右图，连接 AN ，∵ AC为直径，∴∠ ANC=90 °，∴ Rt △ ACN中，AC==5 ，又CD=2 ，∴AD=AC﹣CD=5 ﹣2=3 ．∵BD∥ CP，∴，∴CP= ．在 Rt△ACP 中， AP==，AC+CP+AP=5++ =20 ，∴△ACP的周长为20．点本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．评：12 ．（2012?黄冈）如图 ，在 △ ABC 中， BA=BC ，以 AB 为直径作半圆 ⊙ O ，交 AC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥BC ， 垂足为点 E ．（ 1 ）求证： DE 为 ⊙O 的切线 ；（ 2 ）求证： BD 2=AB?BE ．考 切线的判定与性质 ；圆周角定理 ；相似三角形的判定与性质 ．点：专 证明题 ．题：分 （ 1）连接 OD 、 BD ，根据圆周角定理可得 ∠ ADB=90 °继，而得出点 D 是 AC 中点，析： 判断出 OD 是三角形 ABC 的中位线 ，利用中位线的性质得出∠ODE=90°， 这样可判断出结论 ．（ 2）根据题意可判断 △ BED ∽△ BDC 从，而可得 BD 2=BC?BE ，将 BC 替换成 AB 即可得出结论 ．解证明 ：（ 1 ）连接 OD 、 BD ，则∠ADB=90°（ 圆周角定理 ），答： ∵ BA=BC ，∴ CD=AD （三线合一 ），又 ∵AO=OB ，∴ OD 是 △ ABC 的中位线 ，∴ OD ∥ BC ，∵∠ DEB=90 °，∴∠ ODE=90 °即，OD ⊥ DE ，故可得 DE 为 ⊙O 的切线 ；（ 2）∵∠ EBD= ∠ DBC ，∠ DEB= ∠ CDB ，∴△ BED ∽△ BDC ，∴= ，又 ∵AB=BC ，∴= ，故 BD 2=AB?BE ．点此题考查了切线的判定及性质 、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质 ，评： 解答本题的关键是得出点D 是 AC 中点 ，求出 ∠ODE 是直角 ，有一定难度 ．13 ．（ 2011?芜湖）如图 ，已知直线上一点 ，且 AC 平分 ∠PAE ，过 C 作 PA 交 ⊙O 于 A 、 B 两点 ，AE 是 ⊙O 的直径 ，点 C 为⊙O CD 丄 PA ，垂足为 D ．（1）求证： CD 为⊙O的切线；（2）若 DC+DA=6 ，⊙O 的直径为 10 ，求 AB 的长度．考切线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．点：专几何综合题．题：分（ 1）连接 OC，根据题意可证得∠ CAD+∠ DCA=90°再，根据角平分线的性质，得析：∠ DCO=90°，则CD为⊙O 的切线；（ 2）过 O 作 OF⊥ AB，则∠ OCD=∠ CDA= ∠ OFD=90 °得，四边形OCDF 为矩形，设AD=x ，在 Rt △ AOF中，由勾股定理得（ 5﹣ x）2+ （ 6﹣ x）2=25 ，从而求得 x 的值，由勾股定理得出AB 的长．解（ 1）证明：连接 OC，答：∵ OA=OC，∴∠OCA=∠ OAC，∵ AC平分∠ PAE ，∴∠DAC= ∠ CAO，∴∠DAC= ∠ OCA，∴ PB ∥ OC ， ∵ CD ⊥ PA ，∴ CD ⊥ OC ，CO 为 ⊙O 半径，∴ CD 为 ⊙O 的切线 ；（ 2）解：过 O 作 OF ⊥ AB ，垂足为 F ，∴∠ OCD=∠ CDA= ∠ OFD=90 °，∴四边形 DCOF 为矩形 ，∴ OC=FD ，OF=CD ． ∵DC+DA=6 ，设 AD=x ，则 OF=CD=6 ﹣x ， ∵⊙O 的直径为 10 ， ∴ DF=OC=5 ，∴ AF=5﹣ x ，在 Rt △AOF 中，由勾股定理得AF 2 +OF 2=OA 2 ．即（ 5﹣ x ）2 + （ 6﹣x ）2=25 ，化简得 x 2﹣11x+18=0 ，解得 x 1=2 ， x 2=9 ．∵ CD=6﹣ x 大于 0，故 x=9 舍去 ， ∴ x=2 ，从而 AD=2 ， AF=5 ﹣ 2=3 ，∵ OF ⊥ AB ，由垂径定理知 ，F 为 AB 的中点 ，∴AB=2AF=6 ．点本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基评：础知识要熟练掌握．14 ．（2011?凉山州）如图，已知△ ABC，以 BC 为直径， O 为圆心的半圆交AC 于点 F，点E 为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ ABC的角平分线，且AD⊥ BE，垂足为点H．（1）求证： AB 是半圆 O 的切线；（2）若 AB=3 ， BC=4 ，求 BE 的长．考切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．点：专几何综合题；压轴题．题：分（ 1）连接 EC， AD 为△ABC 的角平分线，得∠1=∠2，又 AD⊥BE，可证∠3=∠4，由.. . . ..析： 对顶角相等得 ∠4=∠5，即 ∠3=∠5，由 E 为 的中点 ，得 ∠6=∠7，由 BC 为直径得∠ E=90 °即，∠ 5+ ∠ 6=90 °由，AD ∥ CE 可证 ∠ 2= ∠ 6从，而有 ∠ 3+ ∠ 7=90 °证，明结论 ；（ 2）在 Rt △ ABC 中，由勾股定理可求 AC=5 ，由 ∠ 3= ∠4得 AM=AB=3 ，则 CM=AC﹣ AM=2 ，由（ 1 ）可证 △CME ∽△ BCE ， 利用相似比可得 EB=2EC ，在 Rt △BCE 中，根据 BE 2 +CE 2=BC 2，得 BE 2+ （） 2=4 2，可求 BE ．解（ 1）证明 ：连接 EC ，答： ∵ AD ⊥ BE 于 H ，∠ 1= ∠ 2 ，∴∠ 3= ∠ 14 （分）∵∠ 4= ∠ 5 ，∴∠ 4= ∠ 5= ∠ 32，分（）又 ∵E 为 的中点 ，∴ =，∴∠ 6= ∠ 7 ，3（分），∵ BC 是直径 ， ∴∠ E=90 °，∴∠ 5+ ∠ 6=90 °，又 ∵∠ AHM=∠E=90°，∴ AD ∥ CE ，∴∠ 2= ∠ 6= ∠ 1 ，∴∠ 3+ ∠ 7=90 °，又 ∵BC 是直径 ，.学习帮手... . . ..（ 2）解：∵ AB=3 ，BC=4 ，由（ 1）知，∠ ABC=90°，∴ AC===5 （ 5 分）在 △ABM 中，AD ⊥BM 于 H ，AD 平分 ∠BAC ，∴ AM=AB=3 ，∴ CM=2 （6 分）∵∠ 6= ∠ 7 ，为∠E 公共角 ，∴△ CME ∽△ BCE 得，= = = ，（ 7 分）∴ EB=2EC ，在 Rt △ BCE 中， BE 2+CE 2=BC 2，即 BE 2+ （） 2 =4 2 ，解得 BE=．（ 8 分）点本题考查了切线的判定与性质 ，相似三角形的判定与性质 ，圆周角定理 ，勾股定理评： 的运用 ．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形 ，由相似比得出边长的关系 ，由勾股定理求解 ．15 ．（ 2011?乐山）如图 ， D 为⊙O 上一点 ，点 C 在直径 BA 的延长线上 ，且 ∠ CDA= ∠ CBD ．（1 ）求证： CD 是 ⊙O 的切线 ；（2 ）过点 B 作⊙O的切线交CD 的延长线于点E，若 BC=6 ， tan ∠ CDA=，求 BE 的长．考切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．点：专几何综合题；压轴题．题：分（ 1）连 OD ，OE，根据圆周角定理得到∠ ADO+∠ 1=90°而，∠ CDA=∠ CBD，析：∠ CBD=∠ 1于，是∠ CDA+∠ ADO=90°；（ 2）根据切线的性质得到ED=EB， OE⊥ BD，则∠ ABD= ∠ OEB，到得tan ∠ CDA=tan∠ OEB=，易证Rt△ CDO∽ Rt△ CBE得，到===，求得CD ，然后在 Rt △ CBE中，运用勾股定理可计算出BE 的长．解（ 1）证明：连 OD ， OE，如图，答：∵ AB为直径，∴∠ADB=90 °即，∠ ADO+∠ 1=90 °，又∵∠ CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1= ∠ CDA，∴∠CDA+ ∠ ADO=90 °即，∠ CDO=90 °，∴ CD 是 ⊙O 的切线 ；（ 2）解：∵ EB 为⊙O 的切线 ， ∴ ED=EB ， OE ⊥ DB ，∴∠ ABD+ ∠ DBE=90 °，∠ OEB+ ∠ DBE=90 °， ∴∠ ABD= ∠ OEB ，∴∠ CDA= ∠ OEB ．而 tan ∠CDA= ，∴ tan ∠ OEB== ，∵ Rt △ CDO ∽ Rt △ CBE ，∴= = = ，∴ CD= × 6=4 ，在 Rt △CBE 中，设 BE=x ，∴（x+4 ）2 =x 2 +6 2，解得 x=．即 BE 的长为．点本题考查了切线的判定与性质 ：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也评： 考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．16 ．（2011?广安）如图所示， P 是⊙O外一点， PA 是⊙O的切线，A 是切点， B 是⊙ O 上一点，且 PA=PB ，连接 AO 、 BO、 AB，并延长 BO 与切线 PA 相交于点Q ．（1）求证： PB 是⊙O的切线；（2）求证： AQ?PQ=OQ?BQ ；（3 ）设∠ AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．考切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性点：质；解直角三角形．专几何综合题；压轴题．题：分（ 1）连接 OP，与 AB 交于点 C．欲证明 PB 是⊙O 的切线，只需证明∠ OBP=90 即°析：可；（ 2）根据相似三角形的判定定理AA 证明△ QAO∽△ QBP，然后由相似三角形的对应边成比例求得= ，即 AQ?PQ=OQ?BQ；（ 3）在 Rt △O AQ 中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得QB=27 ，利用（ 1）的结论求得 PQ=45 ，即 PA=36 ，又由勾股定理知 OP=12；然后由切线的性质求 AB 的长．解（ 1）证明：连接 OP，与 AB 交于点 C．答：∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△ OBP（SSS），∴∠OBP= ∠ OAP，∵PA是⊙O的切线， A 是切点，∴∠ OAP=90 °，∴∠ OBP=90 °即，PB 是⊙O 的切线；（2）证明：∵∠ Q=∠ Q，∠ OAQ=∠ QBP=90 °，∴△QAO∽△QBP，∴= ，即 AQ?PQ=OQ?BQ ；（ 3）连 OP 并交 AB 于点 C，在Rt△OAQ 中，∵ OQ=15，cosα=，∴OA=12 ，AQ=9 ，∴QB=27 ；∵=，∴PQ=45 ，即 PA=36 ，∴OP=12；∵∠APO= ∠ APO，∠PAO= ∠ PCA=90 °∴△PAC∽△POA，∴=，∴ PA?OA=OP?AC ，即 36 × 12=12?AC ，∴ AC=，故AB=．点本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直评：角三角形以及勾股定理．图形中的线段的求法，可以通过特殊角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解．17 ．（2012?达州）如图， C 是以 AB 为直径的⊙O上一点，过 O 作 OE⊥ AC于点 E，过点A 作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，连接 CF 并延长交BA 的延长线于点P．（1 ）求证： PC 是⊙O的切线．（2 ）若 AF=1 ， OA=，求PC的长．考切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．点：专几何综合题；压轴题．题：分（ 1）连接 OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠ FAC= ∠ FCA然，后根据切线的析：性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．（ 2）先证明△ PAF ∽△ PCO利，用相似三角形的性质得出PC 与 PA 的关系，在Rt △ PCO中，利用勾股定理可得出 x 的值，继而也可得出PC 得长．解（ 1）证明：连接 OC，答：∵ OE⊥ AC，∴AE=CE ，FA=FC，∴∠ FAC= ∠ FCA ，∵ OA=OC（圆的半径相等），∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠ OAC+∠ FAC= ∠ OCA+∠ FCA即∠，FAO= ∠ FCO，∵ FA与⊙O相切，且 AB 是⊙O的直径，∴FA ⊥ AB，∴∠FCO= ∠ FAO=90 °，∵ CO是半径，∴ PC是⊙O 的切线；（ 2）解：∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90 °，又∵∠ FPA=∠OPC，∠ PAF=90°，∴△PAF ∽△PCO，∴∵ CO=OA=，AF=1，∴ PC=PA，设 PA=x ，则 PC=．在 Rt△PCO 中，由勾股定理得：，解得：，∴ PC=2×=．点此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及评：知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度．。