平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。

比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。

2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。

如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。

例4：在梯形A B C D 中，O E 平行于A D 。

如果三角形A O B 的面积是7平方厘米，则三角形D E C 的面积是______ 平方厘米。

【解题点拨】题中有多条平行线，注意使用平行线间的等积变形。

∵AD //EO//BC∴S △EOA = S △EOD，S △EOB = S △EOC，S △AOB = S △COD∴S △DEC = S △COD + S △EOD + S △EOC = S △AOB + S △EOA + S △EOB =7+7=14例5：如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD ＝ AB ；延长BC 至E ，使CE ＝ BC ；延长CA 至F ，使AF ＝ 2AC ，求三角形DEF 的面积。

【解题点拨】题中有多个中点、三等分点，如图连接：∵S △ABC =1，AB=BD ∴S △DBC =S △ABC =1又BC=CE ∴S △ACE =S △ABC =1，S △DBC =S △EDC =1 又AF=2AC ∴S △AFE =2S △ACE =2，S △AFB =2S △ACB =2 又AB=DB ∴ S △AFB = S △DFB =2所以三角形DEF 的面积为=1+1+1+1+2+2+2=10例6：如图，D 是三角形ABC 一边上的中点，两个长方形分别以B 、 D 为顶点，并且有一个公共顶点E ，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE 的面积是多少？【解题点拨】题中已知阴影部分的面积，要求面积，想办法转化。

∵D 为AC 中点 ∴S △ADB = S △CDB又ED 和EB 分别将两个长方形平分面积所以阴影部分差的面积就是三角形BDE 的2倍（解题关键） 所以三角形BDE 的面积为（120-100）÷2=10D BAE C第2讲 一半模型【知识点分析】1、平行四边形的一半模型（适用于长方形和正方形） 基础模型：12S =S 阴平行四边形证明：12S =S =S =S ⨯÷⨯阴阴平行四边形平行四边形底高2，底高，所以 拓展1：图（1）中为平行四边形内部的一条平行线，12S =S 阴平行四边形图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，12S +S =S +S =S 下下上左平行四边形图（3）中为平行四边形内部一平行线，12S =S 阴平行四边形（3）（2）（1）或拓展2：图（1）为平行四边形到长方形的变化 图（2）2S =S =S 正阴长图（3）2S =S =S 正阴长,图（3）是图（2）的变形 2、梯形的一半模型：12S =S 阴梯形（取梯形腰上中点连接三角形）证明：延长DE 交CB 的延长线于F ，得到ADE FBE CDF S =S S =S △△△梯形，,因为E 为AB 的中点，显然E 也为DF 的中点，容易得到1122CDF S =S =S △阴梯形拓展：在梯形中位线上任意选择一点，12S =S 阴梯形（3）（1）（2）FC证明：如图，将K 点移动到L 点GJK GJL S =S △△，HIK HIL S =S △△，由梯形的一半模型得证：12S =S 阴梯形3、 任意四边形的一半模型： 基础模型:任意四边形，取上下两个边的中点连接，则12S =S 阴四边形 证明：连按照如图连接，则根据中点可以知道，1234S =S S =S ，，所以12S =S 阴四边形 拓展1：将中点变为三等分点LJIHG KS 4S 3S 2S 1证明23S =S 阴四边形，证明方法同上，连接对角线即可（略）拓展2：取三等分点连接13S =S 阴四边形,证明方法如图，根据拓展1的结论可得：23ABCD S =S 四四边形，根据基础模型知道：12ABCD S =S 阴四，所以13S =S 阴四边形拓展3：上面一条边三段长度比例为3:2:1，下面一条边三段长度比例为1:2:3，则13S =S 阴四边形证明：如图连接，证法同拓展2，根据基础模型结论可得：12ABCD S =S 四四边形，根据拓展1的结论可得23ABCD S =S 阴四，所以13S =S 阴四边形证明B①②③③②①①②③①②③证明CA DB拓展4：取各边三等分点，连接得中心阴影，则19S =S 阴四边形证明：如图，由拓展2知13GHKL S =S 四四边形，只需要证明K 1、N 1和L 1、M 1、分别是GL 和KH 的三等分点就可以。

如图连接，（需要用到相似），根据三等分点容易得到EL//BD//GJ,而且1112113322EL=BD GJ=BD EL=GJ LK =K G ，，所以，所以 ，得到K 1是GL 的三等分点，同理可以证明另外三个点也是三等分点，所以13G H K LS =S 阴四， 所以19S =S 阴四边形【典型例题】例1：（1）平行四边形草场分成了A 、B 、C 、D 四个三角形，草匀速生长，A 草场的草可供40头牛吃，B 草场的草可供30头牛吃，C 草场的草可供100头牛吃，那么D 草场呢？【解题点拨】由平行四边形一半模型可以知道：A+C=B+D ，所以，D=40+100-30=110头注意：草地面积和牛数使一一对应的。

证明F GBD BAC（2）（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）已知EF 为梯形的中位线，三角形ADG 的面积为15平方厘米，三角形BCG 的面积占梯形总面积的720，求梯形ABCD 的面积？【解题点拨】由梯形的一半模型知道，12ADG BCG ABCD S +S =S △△梯 ，所以梯形ABCD的面积=21715)100220-cm ÷=（ 例2：（三帆中学2006年考题）如图，P 为平行四边形ABCD 外一点，已知三角形PAB 的面积等于7平方厘米，三角形PCD 的面积是3平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。

【解题点拨】过P 做平行线构造平行四边形，利用一半模型解题222273ABEFPAB DCEFPCD ABCDABEFDCEFS=S S=S S=S-S=-=cm ⨯△，△，（）8AA例3：O 为长方形ABCD 内一点，5OBC OAB OBD S =S =2S =△△△，，求？【解题点拨】考察任意一点的一半模型和对角线的一半模型12OBC OAD OAB OAD OBD ABCDS +S =S +S +S =S△△△△△，得523OBD OBC OAB S =S S =-=-△△△例4：O 为平行四边形ABCD 内一点，过点O 做边的平行线，已知8OBD S =△ ，求OHCF AEOGSS=-？【解题点拨】如图，连接OA 与OC ，根据例3中的结论可以知道：OBD OBC OAB S =S S =8-△△△，又22BCFEOBC ABHGAOB S =S S=S △△，， 所以，216OHCF AEOGBCFE ABHGOBC OAB SS=SS=S S =--⨯-△△（）APCBO DF E H GBDCA OG B例5：（1）（2008仁华考题）正方形边长为10，四边形EFGH 的面积为5，求阴影部分的面积是多少？【解题点拨】一半模型的变形，正方形中的两个三角形有重叠部分，如果没有重叠，两个三角形面积和应为10×10÷2=50，重叠部分面积是5，所以阴影部分的面积为50-5×2=40（2）四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是各边中点，求阴影部分面积与四边形PQRS 的面积之比是多少？12BGDE AFCH ABCD S =S =S 四四四【解题点拨】由任意四边形一半模型可知： 所以BG D E A F C HS +S=S 四四四，根据重叠等于未覆盖，可以知道1:1PQ R S P Q R S S =S S S =四阴四阴，所以：H GE BCADFPQR S H E F G A DBC例6：（2008走美六年级初赛）长方形ABCD 中，阴影部分面积为70，AB=8，AD=15，求四边形EFGO 的面积？【解题点拨】解法一：一半模型三角形BDF 和三角形ACF 如果没有重叠的话，面积和应该是长方形面积的一半：8×15÷2=60， 实际面积是50，所以四边形EFGO 的面积是60-50=10解法二：梯形蝴蝶模型（学习过蝴蝶模型的同学可以理解下） 在梯形ABFD中，根据蝴蝶模型可以知道：,70158210ABE DEF EFGO S S S ===-⨯÷△△四所以AGE O BCDF第3讲 等高（等底）模型【知识点分析】1、基础知识： 三角形面积=底⨯高2÷所以：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 若底不变，高越大(小)，面积越大(小)； 若高不变，底越大(小)，面积越大(小)； 2、模型结论：① 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如图12::S S a b =② 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 特殊：等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）其他常用结论：（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．（2）等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；（3）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；（4）两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．baS 2S 1DC BA3、 拓展结论：拓展1： 图（1）：四边形ABCD 为正方形，E 、F 、G 是各边中点，H 是是AD 上任意一点，则12S =S 正阴 证明：连接BH 、CH ，根据等高等底知：S =S S =S S =S ①②③④⑤⑥，，， 所以12S =S 正阴 图（2）：四边形ABCD 为正方形，E 、F 、G 是各边三等分点，H 是是AD 上任意一点，则13S =S 正阴 （证明方法同上）图（3）：四边形ABCD 为长方形，E 、F 、G 是各边中点，H 是是AD 上任意一点，则12S =S 阴长 （证明方法同上）拓展2：图（1）：12S =S 阴小正，证明：根据平行，A 可以移动到D ，12BCD S =S =S △阴小正图（2）：12S =S 阴小正，证明同上（辅助线如图）图（3）：12S =S 阴大正，证明同上（辅助线如图）（3）（2）（1）G E E GF E BAB（4）（1）（2）（3）D图（4）：12S =S 阴中正，证明：辅助线如图，根据平行BFA BFE BFC BFD S =S S =S △△△△，，所以，12S =S 阴中正 【典型例题】例1：如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？【解题点拨】DEB △与DAB △等高，DEC △与DAC △等高，面积比等于对应的底边之比,()1:41:4):1:4BDE BDA CDE CDA BDE CDE BDA CDA S S =S S =S +S S +S =△△△△△△△△：，：，所以(即1:4EBC ABC S S =△△： ，故三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的4倍 例2：长方形ABCD 的面积为36， E 、F 、G 为各边中点， H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解题点拨】（法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯= ． EDCBAE（法1） （法2）（法2）等高等底模型．连接BH 、HC ，可以得到：12EHBAHB S S ∆∆=，12FHBCHB S S ∆∆=，12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；又1=S 2EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影长（这个结论就是拓展1中的图3）11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．例3：（第6届走美杯5年级决赛第8题）央如图， A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。