湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
y0x一、确定飞机降落曲线的方程如图所示，我们假设飞机降落的曲线的方程为Id cx bx ax x f +++=23)(由题设有 h x f f ==)(,0)0(0。
由于曲线是光滑的，所以f(x)还要满足0)(,0)0(0='='x f f ，代入f(x)可以得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x f h d cx bx ax x f c f d f 得 ,0,0,3,223===-=d c x h b x h a飞机的降落曲线为 )32()(23020x x x x h x f --= 二、找出最佳着陆点飞机的垂直速度是关于时间t 的导数，所以dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dt dx 是飞机的水平速度，,u dtdx= 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x xx hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x xx hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 226)(max x hu x a =[]0,0x x ∈设计要求10622g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值）实验二 优化模型实验目的：理解优化模型的三要素，掌握优化模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A 、B 中任选一题，C 、D 题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 梯子长度问题一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.清洁工只有一架7m 长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?如图中所设，设：梯子与地面角度为θ ，温室伸入花园的长度a=2m ，温室本身的高b=3m 梯子的长度为)(x f 。
根据题意结合图形，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)(sin cos )('x f b a x f θθ解得()⎪⎩⎪⎨⎧+==5.13232m i n3a r c t a nba f ab θ 其中 )2/,0(πθ∈将温室伸入花园的长度a=2m ，温室本身的高b=3m ，代入上式当145.1arctan 5.1arctan 3==θ时候，梯子的长度最小()7.02945.133min ≈+=f可知梯子的最小长度为7.02m ，7m 的梯子不能够做到。
C 题 选址问题某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点i A （7,,2,1 =i ）可共选择，且规定：东区只能在1A ，2A ，3A 中至多选两个； 西区则在4A ，5A 中至少选一个；南区则在6A ，7A 中至少选一个；如选用i A ，设备投资估计为i b 万元，每年可获利润估计为i c 万元，问在投资总额不超过B 万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？假设投资总额1000=B 万元，设备投资估计b 与每项投资每年获利ic 见下表：这是一个典型的0-1规划。
假设i x 表示)7,...,1(=i A i 7个位置点，z 表示公司年利润，据题意我们可得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≤+≤+≤++≤++++++++++++=)7,,1(1011210008010030020030018015016175553604625max 764532176543217654321 i or x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y z i用LINGO 程序可求得其解。
max =25*x1+46*x2+60*x3+53*x4+55*x5+17*x6+16*x7;150*x1++180*x2+300*x3+200*x4+300*x5+100*x6+80*x7<=1000; x1+x2+x3<=2; x4+x5>=1; x6+x7>=1; @bin (x1); @bin (x2); @bin (x3); @bin (x4); @bin (x5); @bin (x6); @bin (x7);其解为：Global optimal solution found.Objective value: 201.0000 Objective bound: 201.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost x1 0.000000 -25.00000 x2 0.000000 -46.00000 x3 1.000000 -60.00000 x4 1.000000 -53.00000 x5 1.000000 -55.00000 x6 1.000000 -17.00000 x7 1.000000 -16.00000Row Slack or Surplus Dual Price 1 201.0000 1.000000 2 20.00000 0.000000 3 1.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000所以要使公司年利润最大，则东区在1A ，2A ，3A 两中个选择3A ； 西区则4A ，5A 全选； 南区则6A ，7A 全选；实验三 微分方程模型实验目的：理解微分方程模型的构建的基本方法，掌握微分方程模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A 、B 中任选一题，C 、D 题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 酒驾识别问题一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),/(100/56ml mg 又过两个小时，含量降为),/(100/40ml mg 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)/(ml mg ）。
解：设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度，则依平衡原理时间间隔[]t t t ∆+,内，酒精浓度的改变量t t x x ∆⋅∝∆)(，即t t kx t x t t x ∆-=-∆+)()()(其中0>k ，为比例常数，负号则表示浓度随时间递减的，两边除以t ∆，再让0→∆t ，则可以得到kx dtdx-= 56)3(=x ，40)5(=x ，0)0(x x =。
容易求得通解为kt ce t x -=)(，代入0)0(x x =，得到kt e x t x -=0)(又因为56)3(=x ，40)5(=x ，代入，可得到17.04056405625030=⇒=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==--k e e x e x k kkK=0.17代入其中的一个等式，可得到8025.935617.030>≈⋅=⨯e x ，所以事故发生的时候，司机的酒精浓度已经超标。
B 题 物体冷却问题物体在20min 内由100o C 冷却到60o C ，问经过多长时间此物能降到30o C ？根据牛顿的冷却定理：温度求导=物体温度和介质温度之差成正比。
))(()(H t T k t T --='其中，)(t T 为物体的温度，K 为比列常数，H 为室温，0T 为物体一开始的温度，对其不定积分。
则，kte c H t T kdt dt H t T t T -⋅=-⇒-=-'⎰⎰)())(()( 代入0T 可得到，kt e H T H t T --+=)()(0将题目中给出的数据代入，可得到从100度到30度需要60分钟。
实验四 稳定性模型实验目的：理解微分方程模型稳定性分析的的基本方法，掌握微分方程模型建模与稳定性分析的步骤与方法。
实验内容：A 、B 中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
B 题 食饵和捕食者在一个封闭的大草原里生长着兔子和狐狸，设t 时刻它们的数量分别为x(t)和y(t)，已知满足以下微分方程组40.04,0.80.0002.dxx xy dt dy y xy dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （1） 建立上述微分方程组的轨线方程；（2） 在什么情况下兔子和狐狸数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程组来分析人们对兔子和狐狸进行捕猎会产生什么后果？1、从方程（1），（2）消去dt 后得到：)0002.08.0()04.04(x y y x dy dx +--=通过分离变量，可得：dy yydx x x 04.040002.08.0-=+- 方程两边积分得到方程（1），（2）的相轨线为：c e y e x y x =--))((4.040002.08.0其中c 为常数由初始条件确定。
2、通过解兔子和狐狸的数量方程（1），（2）得两个平衡点为)0,0(),100,4000(21P P我们记x e x x f 0002.08.0)(-=，y e y y g 4.04)(-=将他们的极值多记为x0,y0,极大值为m m g f ,可做上图，则可以由图可得知道x0,y0满足100,)(4000,)(0000====y g y g x f x f m m所以x0,y0恰好是平衡点P1.实验五 代数方程和差分方程模型实验目的：理解向量、矩阵的基本概念和序列递推分析的意义，掌握代数方程和差分方程模型建模与求解步骤与方法。