第四章4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(2)KG s s s s =++ 试绘制该系统在正、负反馈情况下的根轨迹图。

解：（1）负反馈情况令(1)(2)=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,2p p p ==-=-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)j j j -- 终点均为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(][],2,1,0-∞--两段。

由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2121=3a k k n m ππϕ++=-（）（），（k=0,1,2）当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为60°，180°，-60° 确定分离点，由111++=012d d d ++解得120.42, 1.58d d =-=-由于2d 不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为1d确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3232=0s s s K +++令=s j ω 代入上式得3232=0j j K ωωω--++ 写出实部和虚部方程233=020K ωωω⎧-⎪⎨-=⎪⎩可求得=006K K ωω⎧⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩因此，根轨迹在ω=6K =；另外实轴上的根轨迹分支在0ω=处与虚轴相交。

负反馈系统根轨迹如下图所示（2）正反馈情况令(1)(2)=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,2p p p ==-=-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)j j j -- 终点均为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为[](]2,1,0,--+∞两段。

由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2=3a k πϕ，（k=0,1,2）当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为0°，120°，-120° 确定分离点，由111++=012d d d ++解得120.42, 1.58d d =-=-由于1d 不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为2d确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3232-=0s s s K ++将=s j ω 代入上式得3232-=0j j K ωωω--+ 写出实部和虚部方程23-3=020K ωωω⎧-⎪⎨-=⎪⎩可求得=00-6K K ωω⎧⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩ 因此，根轨迹在0ω=处与虚轴相交。

正反馈系统根轨迹如下图所示 4-2设系统的开环传递函数为(+)()(s)()()K s z G s H z p s s p =>+绘制根轨迹图，证明根轨迹的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。

解：系统实轴上的根轨迹为[](],,,0z p -∞- 根轨迹分离点坐标满足111+=d d p d z++解得12d z d z =-=- 系统闭环特征方程2()+=0s p K s Kz ++解得1,2=-2p Ks +±令=-,2p Kx y +=2222222()()=(z-)()244()()44p K p K x z z z p K Kz p K p K y Kz +++=-++-++==-两式相加得222()=x z y z zp ++- 又分离点d到开环零点距离r=d z -=即2222()r =()x z y d z ++=-故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。

根轨迹图如下：4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。

（1）(2)()(1)(3)K s G s s s s +=++ （2）2(1)()(0.11)K s G s s s +=+（3）(5)()(1)(3)K s G s s s +=++ （4）2(1)()K s G s s += （5）2(4)()(1)K s G s s +=+ （6）2(0.2)()( 3.6)K s G s s s +=+解：（1）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点12z =- 3个开环极点1230,1,3p p p ==-=-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(3,0)j j j -- 一个终点为(2,0)j - 另两个终点为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(][]3,2,1,0---两段。

由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2121=2a k k n m ππϕ++=-（）（），（k=0,1）当k=0,1时，计算得a ϕ分别为-90°，90° 则系统根轨迹如下图所示（2）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点11z =- 3个开环极点1230,0,10p p p ===-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(0,0),(10,0)j j j - 一个终点为(1,0)j - 另两个终点为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为[]10,1--段。

由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线，它们在实轴上的交点坐标114.5n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2121=2a k k n m ππϕ++=-（）（），（k=0,1）当k=0,1时，计算得a ϕ分别为-90°，90° 确定分离点，由1111++=101d d d d ++解得124, 2.5d d =-=- 确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程320.1=0s s Ks K +++将=s j ω 代入上式可求得=0K ω⎧⎨=⎩则系统根轨迹如下图所示（3）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点15z =- 2个开环极点121,3p p =-=-根轨迹分支数为2，起点分别为(1,0),(3,0)j j --，终点分别为(5,0)j -和无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(][],5,3,1-∞---两段。

轨迹有1条渐近线，它与实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==-∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为21=21a a k k n mπϕπϕπ+=+=-（）（），（k=0）则确定分离点，由111+=135d d d +++解得1255d d =-+=-- 确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程2(4)35=0s K s K ++++将=s j ω代入上式可求得=0,3-45K K ωω⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎩⎪⎩均舍去 则系统根轨迹如下图所示（4）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点11z =- 2个开环极点120,0p p ==根轨迹分支数为2，起点分别为(0,0),(0,0)j j ，终点分别为(1,0)j -和无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(],1-∞-段。

轨迹有1条渐近线，它与实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==-∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为21=21a a k k n mπϕπϕπ+=+=-（）（），(k=0)则确定分离点，由111+=1d d d +解得2d =-，则分离点为()2,0j - 则系统根轨迹如下图所示（5）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点14z =- 2个开环极点121,1p p =-=-根轨迹分支数为2，起点分别为(1,0),(1,0)j j --，终点分别为(4,0)j -和无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(],4-∞-段。

轨迹有1条渐近线，它与实轴上的交点坐标112n mi ji j a p zn mσ==-==-∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为21=21a a k k n mπϕπϕπ+=+=-（）（），(k=0)则确定分离点，由111+=114d d d +++解得7d =- 则系统根轨迹如下图所示（6）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点10.2z =- 3个开环极点1230,0, 3.6p p p ===-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(0,0),( 3.6,0)j j j -，终点分别为(0.2,0)j -和无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(]3.6,0.2--段。

轨迹有2条渐近线，它与实轴上的交点坐标111.7n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2121=22a a k k n m πππϕϕ++==±-（）（），(k=0,1)则确定分离点，由1111+=3.60.2d d d d +++解得121.67,0.43d d =-=-则系统根轨迹如下图所示4-5已知系统如下图所示，试绘制根轨迹图。

解：由图可知系统的开环传递函数为32()()22KG s H s s s s=++令3222=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,1p p j p j ==-+=--根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,)(1,)j j j ---和，终点分别为(5,0)j -和无穷远处。

在实轴上的根轨迹为(],0-∞段。

轨迹有3条渐近线，它与实轴上的交点坐标1123n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑ 渐近线与实轴正方向的夹角为2121=3a k k n m ππϕ++=-（）（），（k=0,1,2）当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为60°，180°，-60° 确定分离点，由111++=0(1)(1)d d j d j --+---无解得 无分离点 确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3222=0s s s K +++将=s j ω代入上式可求得=0=,04K K ωω⎧⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩由11(21)()m npi zjpi pjpi j j j ik θπϕθ==≠=++-∑∑得出射角为321,,44p p p ππθθθπ==-=则系统根轨迹如下图所示。