函数的奇偶性
学习目标:理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质；掌握判断函数奇偶性的方法与步骤
学习重点：函数的奇偶性的概念
学习难点：判断函数奇偶性的方法
学习过程：
一探究新知
1．函数奇偶性的概念
（1）偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象
（1）偶函数的图象关于对称，图象关于对称的函数一定是偶函数．
（2）奇函数的图象关于对称，图象关于对称的函数一定是奇函数．
3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于对称.
4.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定
也一定是定义域内的一个自变义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x
量（即定义域关于原点对称）．
5.具有奇偶性的函数的图象的特征,偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
6.奇、偶函数图象的性质:
⑴奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.
⑵偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.
注意：①两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．
②两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
7.偶函数
问题1观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？
问题2 关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
问题3 怎样说明函数y＝x2的图象关于y轴对称？
问题4 如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，这个函数是偶函数，如何从代数的角度定义偶函数？
问题5 通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？
奇函数
问题1 观察函数f(x)＝x和f(x)＝1／x的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
小结 （1）奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域的任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（2）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性． 问题2 类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？
小结 （1）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．
（2）用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立． 函数奇偶性的应用
例3 如图，给出了偶函数y ＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
小结 本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．
训练3 如图，给出了奇函数y ＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝________.
二 课内自测
1.①如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数一定是奇函数吗？ ②图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数吗？
③一个函数一定是奇函数，或者是偶函数吗？是否存在一个函数既是奇函数，又是偶函数（f(x)=0） ④若f （x ）具有奇偶性，函数的定义域会关于原点对称吗？
2.给定四个函数：3
(1)()f x x x =+；1(2)(0)y x x =>；（3）x
x x f 1
)(-=；21(4)x y x +=；（5）()1f x x =+.
(6) f(x)＝1
x 2 ,其中哪些是奇函数 ；哪些是偶函数
3.函数x x x f -=3
)(的图像关于点__________对称
4.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x|＋1
C ．y ＝－x 2
＋1 D ．y ＝－2／x
5.已知函数y=2
ax b
x c
++为奇函数，则（ ） A.a=0 B. b=0 C.c=0 D.a ≠0
6.函数y ＝f(x)为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
7.设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ) A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B ．f(x)－|g(x)|是奇函数 C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D ．|f(x)|－g(x)是奇函数 8.偶函数y ＝f(x)的定义域为[t －4，t]，则t ＝_______
9.若函数f （x ）=（k-2）x 2
+（k-1）x+3是偶函数，则f （x ）的 递减区间是
10.设奇函数f （x ）的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f （x ） 的图象如图,则不等式f （x ）＜0的解是 11.判断下列函数哪些是偶函数
①f(x)＝x 2＋1；②f(x)＝x 2，x∈[－1,3]；③f(x)＝0；④f(x)＝x 3－x 2x －1
；⑤f(x)＝1－x 2＋x 2
－1
12.判断下列函数的奇偶性
①f(x)=2x 4+3x 2
② f(x)＝x(｜x ︱+1) ③ f(x)＝x ④ f(x)＝⎪⎩
⎪⎨⎧+-≤-+)1(2)1(0
)1(2 x x x x x
⑤4
)(x x f = ⑥5
)(x x f = ⑦x x x f 1)(+
= ⑧21)(x
x f =
三 课堂达标 1.选择题
①已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2
＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数
②已知函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．3
1
=
a ，
b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 ③已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2
－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）
④已知f （x ）＝x 5＋ax 3
＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 ⑤函数1
11
1)(2
2+++-++=
x x
x x x f 是（
）A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数
⑥若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 2.填空题 ①函数2
122)(x
x x f ---=
的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）
②若y=ax+a+3是R 上的奇函数，则a=_____；若y ＝（m-1）x 2
＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________ ③已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1
1)()(-=
+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______
④已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________
⑤函数f （x ）=⎩⎨⎧-≥）
（0x )
0(2
2 x x x 的奇偶性奇偶性为________（填奇函数或偶函数）
⑥已知f （x ）=x 5
+ax 3
+bx-8且f （-2）=10，那么f （2）=____________
⑦如果定义在区间[3+a ，5]上的函数f （x ）为奇函数，那么a 的值为_______ ⑧若函数f （x ）是定义域为[a-1，2a]的偶函数，则a=______ 3.解答题
①判断函数f （x ）=⎩⎨⎧+-）
（0x )
0(2
2 x x x x x 的奇偶性
②设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围
③已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数
④已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2
—1，求f （x ）在R 上的表达式
⑤已知函数y=f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）=x （1﹣x ），当x ＞0时，求f （x ）的解析式
⑥f（x）是定义在（－∞，－5］∪［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明
⑦设函数y＝f（x）（x R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数。