1.3.2奇偶性
【学习目标导航】
1．结合具体函数，了解奇函数，偶函数的定义．
2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．
3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．
【学习重、难点】
1．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)
2．函数奇偶性的应用．(难点)
【问题提出导入新知】
1.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题：
（1）f (x)＝x2（2）g(x)＝|x|
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗？
（3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于y轴的对称点(—x, f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？
)= ；)=
这时我们称函数f (x)＝x2与g(x)＝|x|为偶函数。
（5）偶函数的定义：如果对于函数f (x)的，都有，那么函数f (x)就叫做偶函数。
偶函数的图象特征：图象关于对称。
2.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题：
1
（1）f (x)＝x（2）g(x)＝
x
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）关于原点对称的点的坐标有什么关系吗？
（3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？
对于R 内的任意的一个x ，都有f (—x )= ；g (—x )= 这时我们称函数f (x )＝x 与g (x )＝
x
1
为奇函数。
（5）奇函数的定义：如果对于函数f (x )的 ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数。
奇函数的图象特征：奇函数的图象关于 对称。
3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性，回答下列问题：
（1）奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x ”中的“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ （2）－x 与x 两个数在数轴上所表示的点有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 得出结论： (3)如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，能否判断它的奇偶性？
得出结论： (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论：
【典例分析】
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x )＝x ＋x 3＋x 5； (2) f (x )＝x 2＋1； (3) f (x )＝x ＋1；
(4) f (x )＝x 2，x ∈[－1, 3]； (5) f (x )＝0； (6) f (x )＝5.
（注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0常函数. 前提是定义域关于原点对称）.
【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能： 。
【活学活用1】判断下列函数的奇偶性： (2) f(x)=2x 4+3x 2；
(5) f(x)=x 3+2x ；
(6)2
211)(x x x f -+-=
【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。
(3)()f x
=(4)()f x =
1(1)()f x x x =-
【例2】（1）如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部图象，求f (－4).
（2）如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部图象，试比较f (1)与f (3) 的大小.
（1）（2）
【活学活用2】(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小
并试作出y轴右侧的图象．
【思考】奇函数f(x)的对称区间上的单调性有什么关系？偶函数呢？
【例3】已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
【活学活用3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，求函数f(x)在R上的解析式．
【课堂练习】
1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为。
2．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
4.若函数f(x)＝（m－1）x2+2m x+3是偶函数，则m= 。
【课堂小结】
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) ⇔f(x)为奇函数.
如果都有f(-x)=f(x) ⇔f(x)为偶函数.
2.两个性质:
一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.
3.判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。
【课堂作业】
课本第36页第1题及大册子第24页。