人教版高中数学选修2-1 《椭圆及其标准方程》教案
一、课型
新授课
二、教学内容
1、椭圆的定义；
2、椭圆的两类标准方程；
3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。

三、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的
两种形式及其推导过程；掌握a、b、c 三个量的几何意义及它们之间的关系。

能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；
2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆
的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。

让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；
3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学
的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。

四、教学重点、难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。

五、教学方法
教师引导为主、学生自主探究为辅。

六、教学媒体
幻灯片、黑板。

七、教学过程
（一）创设情境，导入新课
用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。

此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。

这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。

（二）问题探究
老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？
1、椭圆的形成
下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3 分米，宽3 分米的硬纸板。

然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？
如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。

我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。

将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。

再用课件给学生进行演示：
通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。

请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？
2、椭圆的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F 1F2|）的点的轨迹叫做
椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

通常常数
记作2a，焦距记作2c，则有2a> 2c。

注意：这里的常数必须大于|F 1F2| 。

如果常数=|F1F2| ，则是线段F1F2；若常数<
|F 1F2| ，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，必须得加上限制条件：“此常数大于|F
1F2| ”。

3、椭圆标准方程的推导首先复习求曲线方程的一般步骤：①建系设点；②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程。

（1）建系设点：设椭圆的焦距为2c（c>0），M 与
F1、F2 的距离之和为2a，以两定点F1、F2的直线为x 轴，
线段F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，M（x，
y）为椭圆上任意一点，则有F1（-c ，0），F2（c，
0）。

（2）动点M满足的几何条件：由椭圆的定义不难得
出动点M满足的条件为：MF1 MF2 2a
（3 ）动点M满足的代数方程：
∵ MF1（x c）2 y2
∴ （x c）2 y2（x c）2 y2 2a
（4）化简方程：
2 2 2 2 2 2 2 2
（a-c ）x +a y=a（a-c ）
由椭圆的定义可知，2a>2c,即a>c,所以a2-c 2>0。

令a2-c 2=b2, 其中b>0, 代入
上式，得b2x2+a2y2=a2b2, 22
两边同除以a2b2,得x2y2 1（a>b>0）,此即为椭圆的标准方程。

a2b2
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是 F1（ c,0） F2（c,0），中心在坐标原点的椭圆方程。

其中 a2c2b2。

如果使点F1、F2在y 轴上，点F1、F2的坐标分别为F1（0，-c ）、F2 （0,c），a、
2
3 2 5 2 2a ( 2)2 (2 2)2
3 2 5
( 32)2 (52 2)
2
b 的意义同上，那么所得方程变为 y 2 a 2 4、标准方程的观察、对比
请同学们思考：焦点的位置和方程之间有什么关系呢？ 那下面这个方程它的焦点位置又该如何来判断呢？
焦点就在相应的那个轴上
三）例题讲解 例 1、（1）已知椭圆的焦点坐标是 F 1（－ 4， 0）,F 2（4，0），椭圆上任一点 P 到
F 1、 F 2的距离之和为 10 ，求椭圆的标准方程；
2）两个焦点的坐标分别是 （0，-2）、（0,2 ），并且椭圆经过
点
求椭圆的标准方程。

2
x
2 1( a>b>0)
b 2
当焦点落在 x 轴上时，焦点坐标为
F 1(-c,0),F 2(c,0) ；
当焦点落在 y 轴上时，焦点坐标为 F 1(0,-c),F 2(0,c) 。

22
x 2
y 2 1 mn
m 0， n 0且m n
①当 m>n 时， 焦点在 x 轴上，此时
②当 m<n 时， 焦点在 y 轴上，此时 2
m=a ， m=b
2，
n=b 2；
2
n=a 。

判断椭圆焦点位置的方法：观察含
x 的项和含 y 的项，哪个项的分母较大，
-3/2,5/2 )，
解：（ 1）因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 2
x 2
a
2
y
2 1( a>b>0)
b 2
∵ 2a=10,2c=8 ， ∴a=5,c=4. ∴b 2=a 2-c 2=52-4
2
=9.
2
所以所求椭圆的标准方程为 x
25
2
y 2 1
9
2
2）因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 y 2 a
x 2 2 1( a>b>0)
b 2
由椭圆的定义知，
31
10 10 22
2 10 ∴ a= 10 又 c=2
2 2 2 ∴b 2=a 2
-c 2
=10-4=6
22
所以所求椭圆的标准方程为 y x
1
10 6
例 2、已知 B,C 是两定点， BC 6 ，三角形 ABC 的周长为 16，求顶点 A 的轨迹 方程。

分析：由△ ABC 的周长等于 16，BC 6可知，点 A 到 B 、C 两点的距离的和 10 ,因此，点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆，
据此可建立如下的草图（图 8-1 ）
解：如图 8-1 ，建立坐标系，使 x 轴经过点 B 、C, 原点 O
与 BC 的中点重合。

由已知 AB AC BC 16, BC 6,
有 AB AC 10，即点 A 的轨迹是椭圆，且
2c=6,2a=16-6=10, ∴c=3,a=5,b 2=a 2-c 2=52-3 2=16.
但当点 A 在直线 BC 上，即 y=0 时， A 、B 、C 三点不能构成三角形，所
22
以点A 的轨迹方程是 2x 5 1y
6 1（y 0）
注意：求出曲线的方程后， 要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题 意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。

（四）巩固练习
1、平面内两定点的距离是 8，一动点 M 到这两定点的距离之和是 10，建立适当 的坐标
系，写出动点 M 的轨迹方程。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（ 1） a=4，b=1，焦点在 x 轴上；
是常数，即 AB AC 16 6
x
2）a2=16，c2=15，焦点在y 轴上；
（3）a+b=10,c= 2 5 。

（五）课时小结本节课学习了椭圆的定义及椭圆的标准方程，在实际解题过程中应注意：
（1）一个重要关系式：a2=b2+c2且a>b>0；
（2）椭圆的焦点位置由含x，y 的分式的分母大小来确定；
（3）当2a=2c 时，轨迹为线段，当2a<2c 时，轨迹不存在。

（六）课后作业
教材P106—107，习题8.1:3 、4、5、6
22
思考题：若x y1表示椭圆，则k 的取值范围是？
24 k 16 k
八、板书设计
九、教学反思。