数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C ϖ=(2,-2,1)的方向导数。
12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。
15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16． 求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。
17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。
18. 求曲线x 2+y 2+z 2=4a 2，x 2+y 2=2ax 在点(a ，a ，2a)处的法平面方程。
19．求x 2+z 2=10，y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。
20. 设u=f(x,y,z)，ϕ(x 2,e y ,z)=0，y=sinx ，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu。
21．求函数u=22y x z +的全微分；22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。
（f 具有连续的二阶偏导数) 23．设f ，g 为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求xvx u ∂∂⋅∂∂。
24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=y x，v=xy ，求y x w ∂∂∂2。
25．设u+v=x+y ，y x v u =sin sin ，求xu ∂∂，x v∂∂。
26. 设u=xyf(x-2y,x 2y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求22xu ∂∂。
27．设x 3-3xyz=10，求xy z∂∂∂2。
28．设x=u+v ，y=uv ，z=u 2+v 2，求z x /，z y /。
29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f 具有连续的二阶偏导数，试求yx z∂∂∂2。
30. 设u=u(x,y)。
已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。
31．设z=f(sinx,cosy,e x+y )，而f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求x z∂∂，22xz ∂∂。
32. 设z=φ(xy)+ψ(yx)，求：y x z ∂∂∂2。
33. 设u=yf(y x)+xg(x y )，其中函数f ，g 具有二阶连续导数，求y x u y xu x ∂∂∂+∂∂222。
34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz 。
二、证明题1. 用极限定义证明6)4(lim 221=--→→y x y x 。
2. 用极限定义证明2)2(lim 2210=+-→→y xy x y x 。
3. 设A ，B 是R 2中互不相交的有界闭集。
求证：存在开集W ，V 满足W ⊇A ，V ⊇B ，W I V=∅。
4. 设G 1，G 2是R 2中两个不相交的开集。
试证明：G 1I 2G =∅。
（其中2G 表示G 2连同其边界所成集合，称其为G 2的闭包）5. 设u=f(z)，其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数，求证xuz g y u ∂∂=∂∂)(。
6. 证明由方程F(z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程yzy x z x ∂∂+∂∂=z 。
7. 设z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,)(y x y x y x y x x ，证明：（1）)0,0(x f '，)0,0(y f '存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。
8. 设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0(),( 0)0,0(),( 223y x y x y x x 。
证明f(x,y)在(0,0)不可微。
9. 设z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x yx 。
证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)x f ∂∂)0,0(，y f ∂∂)0,0(存在；(3)x y x f ∂∂),(，yy x f ∂∂),(在(0,0)不连续；(4)f(x,y)在点(0,0)不可微。
10. 设10.φ(0,1)=0；20.φ(x,y)在点(0,1)邻域内连续可微；30.y φ(0,1)≠0。
求证：存在δ>0，在[-δ,δ]存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：0)sin ,(0=⎰yxdx x φ，并求y /(0)。
11. 设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(l x-mz,l y-nz)=0（其中l ,m,n 均不为0）上所有切平面与一条 固定直线平行。
12. 研究含参量积分⎰∞++021)sin(dx x x p (p ≥0)的一致收敛性。
13. 研究函数F(α)=dx x e x ⎰∞+-0α，在(0,1)内的连续性。
14. 证明积分F(α)=⎰+∞--0)(2dx e x α是参数α的连续函数。
15. 设F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ，其中f(x)在[0，1]中取正值的连续函数。
证明F(y)在0点不连续，在y ≠0的任一点都连续。
16. 设f(x)在[0,+∞)可积，除+∞外只有x=0为瑕点。
求证：⎰⎰+∞+∞-+→=00)()(lim dx x f dx x f e x αα。
17. 研究函数F(α)=⎰-πααπ0)(sin dx x x x 在(0,2)内的连续性。
18. 设u(x,y)在平面区域D 上有二阶连续的偏导数。
证明：u(x,y)满足02222≡∂∂+∂∂yu xu （称u(x,y)为调和函数）的充要条件是：对D 内任一圆周C ，且C 围成的区域包含于D ，都有0=∂∂⎰C ds nu(其中n ρ是圆周C 的外法向量)。
数学分析(三)复习题参考答案一、计算题1．求二重极限yx x a y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；解：原式=yx x x a y x x +→∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+11lim =e 。
2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；解：Θ椭球面在点(-1,-2,3)处的切平面的法向量为n ϖ=(-3,-2,3)，平面z=1的法向量为k ϖ=(0,0,1)。
∴这两个平面的交角θ=arccos22223。
3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
解：当x=21，y=21时，函数z=xy 在极大值41。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
解：在（1，2）有极小值7-10ln2。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
解：令z x =4-2x=0，z y =-4-2y=0，得x=2，y=-2，则A=z xx =-2，B=z xy =0，C=z yy =-2，ΘAC-B 2>0，且A<0，∴(2，-2)是原函数的极大值点，其极大值为8。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
解：z(-1,-1)=-2与z(1,1)=-2均为极小值，z(0,0)非极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
解：令z x =3x 2y 2(6-x-y)-x 3y 2=x 2y 2(18-4x-3y)=0，z y =2x 3y(6-x-y)-x 3y 2=x 3y(12-2x-3y)=0，Θx>0，y>0，解得稳定点(3,2)。
又A=z xx |(3,2)=-144，B=z xy |(3,2)=0，C=z yy |(3,2)=-162，∴AC-B 2>0，且A<0， ∴原函数在点(3,2)取得极大值108。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
解：当x=0和y=1时，函数z=x 2+(y-1)2有极小值0。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求0=t dtdu。
解：Θ),(),(y x G F ∂∂=1112-x =-2x-1，),(),(y t G F ∂∂=1112---t =2t+1，),(),(t x G F ∂∂=1122--tx =-2x+2t ，且t=0时由原方程组x 2+y=t 2，x-y=t+2，可得x 2+x-2=0，解得x=1或x=-2，对应地y=-1或y=-4。
∴=t dtdu=2e 4或=t dtdu =22-e 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
解：令f(x,y,z)=z e -z+xy-3=0，则f x =y ，f y =x ，f z =z e -1，∴在点(2,1,0)处的切平面的法向量为n ϖ=(1,2,0)，故切平面方程：x+2y-4=0；法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0212z y x 或写成⎩⎨⎧==-032z y x 。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C ϖ=(2,-2,1)的方向导数。