四、正交矩阵
定义：设n×n阶方阵A，每行每列元素的平方和 为1，每两列相应相应元素的积之和为0。
-1 T T ( 1 ) 、非奇异，且 A A 、 A A I、 det(A) 1 性质：
(2)、A是正交阵，AT 也是正交阵 (3)、正交阵未必是对称阵
cos A sin
(2)、满足（ 1）（2）的G P 称为加权自反广义逆， 记为 APr 1 ）（3）的G P 称为加权LS广义逆，记为 APl (3)、满足（ ( 4 ) 、满足（ 1 ）（ 4 ）的 G 称为加权 MN 广义逆，记为 A P Pm T T A ( A PA) A P
四、ห้องสมุดไป่ตู้他广义逆
(1)、AGA A (2)、GAG G 四个条件 T ( 3 ) 、 ( AG ) AG T (GA) GA (4)、
(1)、仅满足（ 1）的G称为广义逆，记为 A 1）（2）的G称为自反广义逆，记为 Ar (2)、满足（ 1）（3）的G称为LS广义逆，记为 Al (3)、满足（ (4)、满足（ 1 ）（ 4 ）的 G 称为 MN 广义逆，记为 A m (5)、全满足的G称为伪逆或LSMN广义逆，记为 A 1 ( 6 ) 、满秩方阵的逆称为正 则逆或凯莱逆，记为 A
思考4：奇异值分解（SVD）
补充三： 广义逆矩阵
一、满秩长方阵的逆 1、列满秩 nA m 的逆： -------左逆
1 L
A A A
T


1
AT
左逆不唯一： 一般式： A A PA P
1 L T 1
AL A I
1
-------右逆 2、行满秩 nA 的逆： m
A A AA
sin cos
(4)、A、B是正交阵，AB、BA也是正交阵
五、幂等矩阵
定义：方阵 A，满足A2 A
性质：（ 1 ）特征值非0即1 （2）R( A) tr ( A) （3） ( I A) 2 I A （4）设R( A) r , 则R( I A) n r （5）设 A B I m , 则BA C 为幂等
②令B A1
③求B B B
T


1
B
T
④求C BL A
⑤求C
1 R
1
C CC
T
mr r n

T 1

1 1 ⑥得A C R BL
3、广义逆的性质
（ 1） ( AT ) ( A ) T
其中之一

1 （2）设k 0的常数， (kA) A k （3）A( AT A) AT A A; AT A( AT A) AT AT （4）若P正定， A( AT PA) AT PA A; AT PA( AT PA) AT AT （5）R ( A) R ( A - ) min（n，m） （6）A A是幂等阵，且R A A R ( A) (7)G为AT A的广义逆，则， G T 也是AT A的广义逆
2、伪逆的计算 1）特殊的伪逆
A
1
A
1 L
A
1 R
2）当A为对角阵时
a11 A
a 22
a nn
0 a 1 a ii
ii
a11 A
a 22
a nn
当aii 0 当aii 0
A
1 1 R 1 1 L
4、奇异单位矩阵 A 0 ：
1 A为列满秩， A0 A AL 1 A为行满秩， A AR A
注意与定义式的区别： AL 1 A I
AAR
1
I
核心是矩阵的维数与奇异性
二、广义逆(General inverse)
A


1、定义
T
1 R

T 1

右逆不唯一： 一般式：A QA AQA
1 R T
AAR
1
I
T 1

一、满秩长方阵的逆 3、满秩长方阵逆的性质：
(1) (2)
A
A A A为列满秩， AA A为行满秩，
T 1
A
1 T
T
1
A A A
1 R
1 L
T 1
1 当A22 可逆， det(A) det(A22 ) det(A11 A12 A22 A21 )
思考1：如何证明？
三、迹 （trace)
定义：方阵A，tr ( A) aii
i 1
n
性质：（ 1 ）tr ( AB) tr ( BA)
思考2：
12 12 2 2 已知： X , E ( X ) , D( X ) 21 n ,1 n ,1 n1 n 2 求MSE （X） ?
n m
A R( A) r min(m, n)
AA A A
满足
总存在，但不唯一 右逆、左逆、凯利逆均是广义逆（特殊逆）
A

2、广义逆的求法
1）降秩法
A 11 A r*r A 21 ( nr )*r ( n r )*( m r ) A22 ( n r )*( m r )

1 R
1 L
2 1 1 N AT A 1 2 1 1 1 2 2 1 0 1 ( NN ) 1 2 0 9 0 0 0 1 1 0 1 A N AT 1 1 0 3 1 1 0
Pl
A
Pm
QA ( AQA )
T T

1980
六、用广义逆解线性方程组（布耶哈马Bjerhammar理论）
定义：方阵A，Ax x
思考3：特征值与特征向量在求误差椭圆 中的应用
六、奇异值 （Singular value)
定义：设A为m n的矩阵，则AT A为对称阵， 其特征值为非负，
2 2 记其n个特征值为1 2 2 n，
设k min(m, n), 称1，, 2， ，n为A的奇异值
A ( A A) A A A ( AA )
T T
m T T
l


A A A

m
l
五、加权广义逆 (1)、仅满足（ 1 ）的 G称为广义逆，记为 (1 ) 、AG A A
A P GAG 称为自反广义逆，记为 Ar (22 )）的 、G P G (2)、满足（ 1）（ P P 四个条件 , P, Q X 为正定阵 T ( 3 ) 、满足（ 1 ）（ 3 ）的 G 称为 LS 广义逆，记为 A l ( 3 ) 、 ( PAG ) PAG P P (4)、满足（ 1 ）（ 4 ）的 G 称为 MN 广义逆，记为 A T m ( 4 ) 、 ( G AQ ) G AQ P X P X (5)、全满足的G称为伪逆或LSMN广义逆，记为 A 1 ( 6 ) 、满秩方阵的逆称为正 则逆或凯莱逆，记为 A


三、伪逆(pseudoinverse )
A

1、定义
n m
A
R( A) r min(m, n)
满足 (1)、AGA A (2)、GAG G T ( AG) AG (3)、 T ( 4 ) 、 ( GA ) GA
A G

是唯一的
Moore(1920年)和Penrose(1955年)提出！
性质：（ 1 ）R ( A) R( AT A) R ( AAT ) R ( AT ) （2）R ( A1 A2 ...Am ) min(R ( A1 ), R ( A2 ),...R( Am )) （3）Q为满秩方阵，则 R (QA) R ( A) （4）R ( A ) t , R ( B ) t , 则R ( AB) t
1n 2n , 2 n
四、范数 （Norm)
负性、齐次性、三角不 等式 向量：（三个条件）非 （四个条件） . ..... ，相容性 矩阵：
分类：二范数、一范数 、无穷范数、 P范数
五、特征值 （Eigenvalue)；特征向量（Eigenvector）
主要内容
问题的引入 秩亏自由网平差的原理 广义逆的补充知识 秩亏自由网平差的解法 秩亏自由网平差解的性质
补充一： 六种常用的矩阵
一、三角形矩阵
迭代法解方程组； 高斯消去法； 矩阵的三角形分解（LU）：
任一非奇异矩阵可分解为：A=LU，其中一个是单位 三角矩阵
二、对称矩阵
一定是方阵 特征值均为实数 特征向量正交 其逆也对称
A12
1 A11 A 0
0 0
2、广义逆的求法 1）满秩分解法
n*m
A B C
nr r m
A C

1 1 R L mr r n
B
思考5：两种解法如何证明？
满秩分解法的步骤
① A A 1 n*m n*r
1 L
A2 , 其中R( A1 ) r n*( m r )
0 .5 A 0 0.25
例1：
2 A
0
4
3）一般矩阵的伪逆
A A ( AA ) A( A A) A
T T T



T
( AAT ) 和( AT A) 不唯一，但
4）当N为对称方阵

A G 是唯一的


5）设