1.非齐次线性方程组
（1）R(A)=R(A,B),方程有解.
（2）R(A)=R(A,B)=n，解唯一.
（3）R(A)=R(A,B)<n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A)
（4）R(A)≠R(A,B)
2．齐次线性方程组
（1）一定有解
（2）有非零解的充要条件R(A)<n
四．向量组线性相关性
向量组线性相关：
（3）向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．
重要推论：
1.若向量组A：a1, a2,…, am线性相关，则向量组B：a1, a2,…, am, am+1也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．
2.m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关．
一．矩阵等价
行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B
列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B
矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价
矩阵等价的充要条件
1.存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B
2.R(A)=R(B)
二．向量的线性表示
Case1：向量 能由向量组A线性表示:
3.特别地，n + 1个n维向量一定线性相关．
设向量组A：a1, a2,…, am线性无关，而向量组B：a1, a2,…, am, b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．
五.斯密特正交化
第二步单位化，令六、正源自阵n阶矩阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交;A的行向量都是单位向量且两两正交。
充要条件:
1.线性方程组A =b有解
2.R(A)=R(A,b)
Case2：向量组B能由向量组A线性表示
充要条件：
R(A)=R(A,B)
推论∵R(A)=R(A,B),R(B)≤R(A,B)∴R(B)≤R(A)
Case3：向量组A能由向量组B线性表示
充要条件：
R(B)=R(B,A)
推论∵R(B)=R(A,B),R(A)≤R(A,B)∴R(A)≤R(B)
Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价
充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n维单位坐标向量组 能由矩阵A的列向量组线性表示
充要条件是:
R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n，所以R(A)=n=R(A,E)
三．线性方程组的解
Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例
Case4：三个向量线性相关，向量共面
向量组线性无关
向量组A：a1,a2, …,am线性无关
如果k1a1+k2a2+ … +kmam=0（零向量），则必有k1=k2= … =km=0．
充要条件
（1）m元齐次线性方程组Ax= 0只有零解．
（2）矩阵A= (a1,a2, …,am)的秩等于向量的个数m．
存在不全为0的实数 、 ,满足 =0
充要条件:
（1）R(A)<n
（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示
（3）n元齐次线性方程组Ax= 0有非零解．
Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组A只包含一个向量 ， 是零向量，向量组A线性无关;
是非零向量，向量组A线性无关。