第十一章 反常积分复习自测题一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）1d p ax x +∞⎰（0a >）；（2）01d a p x x ⎰（0a >）；（3）01d px x +∞⎰（0a >）。

2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d (ln )pax x x +∞⎰（1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ⎰（1a >）；（3）11d (ln )p x x x +∞⎰。

3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1）201d 1x x +∞+⎰；（2）21d 1x x+∞-∞+⎰；（3）10x ⎰；（4）11x -⎰。

4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征）（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记()lim ()x F f x →+∞+∞=，则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛⇔()lim ()x F f x →+∞+∞=存在，且()d ()af x x F x a+∞+∞=⎰。

（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记()lim ()x F f x →+∞+∞=，()lim ()x F f x →-∞-∞=，则无穷积分()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔()lim ()x F f x →+∞+∞=和()lim ()x F f x →-∞-∞=都存在，且()d ()af x x F x a+∞+∞=⎰。

（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞存在，则无穷积分()()d af xg x x +∞'⎰收敛⇔()()d af xg x x +∞'⎰收敛，且()()()d ()()()()d aaf xg x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞''=-⎰⎰，其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞+∞+∞=。

（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ϕ=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ϕαβ=+∞，则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛⇔积分(())()d f t t t βαϕϕ'⎰收敛，且()d (())()d af x x f t t t βαϕϕ+∞'=⎰⎰。

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，若()f x 为偶函数，则()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔0()d f x x +∞⎰收敛，且 0()d 2()d f x x f x x +∞+∞-∞=⎰⎰；若()f x 为奇函数，则()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔0()d f x x +∞⎰收敛，且()d 0f x x +∞-∞=⎰。

提示：注意由换元法可得000()d ,()d ()d ()d ()d ,x tf t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞-∞+∞⎧⎪=--=-=⎨⎪-⎩⎰⎰⎰⎰⎰为偶函数为奇函数。

二、举例说明下面关系不一定成立：1、瑕积分()d b af x x ⎰收敛不一定能推出瑕积分2()d b af x x ⎰；无穷积分()d af x x +∞⎰收敛也不一定能推出无穷积分2()d af x x +∞⎰收敛；注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。

2、无穷积分()d af x x +∞⎰收敛不一定能推出无穷积分()d af x x +∞⎰收敛；注：注意与定积分的绝对值性质的区别。

3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=不一定成立；三、通过下面的问题探索lim ()x f x →+∞的情况：1、设函数()f x 定义在[,)a +∞上，且在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，()d af x x +∞⎰收敛，若lim ()x f x A →+∞=存在，则lim ()0x f x →+∞=；2、利用1探索：（1）设函数()f x 在[,)a +∞上单调，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=；（2）设函数()f x 在[,)a +∞上连续可导，且()d af x x +∞⎰与()d af x x +∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=；3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=⇔()f x 在[,)a +∞上一致连续；4、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，试探索下面的问题：（1）证明：当u a >时，lim()d 0u c uu f x x +→+∞=⎰（其中c 为任意给定的正数），从而 1lim ()d 0a n a nn f x x +++→∞=⎰；提示：注意到无穷积分的定义即可。

（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在[,)a +∞中，存在严格递增的数列{n x }满足：lim n n x →∞=+∞，lim ()0n n f x →∞=；（3）类似于（1）方法证明：若函数()f x 在[,)a +∞上单调递增（减），且()d af x x +∞⎰收敛，则还有lim ()0x xf x →+∞=。

注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：1()()f x o x=（x →+∞）。

提示：不妨设()f x 在[,)a +∞上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：当2u a >时，2122()d ()()d u u u uf x x uf u f x x ≤≤⎰⎰。

5、若函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续可微，且单调递增（减），则()d af x x +∞⎰收敛⇔()d ax f x x +∞'⎰收敛。

提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式()d d ()()()d aaax f x x x f x xf x f x x a+∞+∞+∞+∞'==-⎰⎰⎰。

四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：1、若无穷积分()d af x x +∞⎰收敛，无穷积分()d ag x x +∞⎰发散，则无穷积分()()()d af xg x x +∞±⎰发散；提示：反证法。

2、判断2211d ln x x x x+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的敛散性；3、利用适当性质说明：在无穷积分()d af x x +∞⎰中，当()f x 同号时，()d af x x +∞⎰收敛等价于与()d af x x +∞⎰收敛（即()d af x x +∞⎰绝对收敛），因此，当()f x 同号时，()d af x x +∞⎰敛散性的判别等价于()d af x x +∞⎰敛散性的判别。

五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：设函数()f x ，()g x 和()h x 都定义在[,)a +∞上，且它们在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，若对任意[,)x a ∈+∞，有()()()g x f x h x ≤≤，则（1）当()d a g x x +∞⎰和()d a h x x +∞⎰都收敛时，()d af x x +∞⎰也收敛；（2）当()d ag x x +∞⎰和()d ah x x +∞⎰都收敛，且()d ()d aag x x h x x +∞+∞=⎰⎰时，()d af x x +∞⎰收敛，且()d ()d ()d aaag x x f x x h x x +∞+∞+∞==⎰⎰⎰。

提示：（1）用柯西准则；（2）可直接用定义和极限的迫敛性。

六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幂函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。

试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：判断下列反常积分的敛散性：1、20sin d 1kxx x +∞+⎰，20cos d 1kx x x +∞+⎰，0sin d 1kx x x α+∞+⎰（2α≥），0cos d 1kx x xα+∞+⎰（2α≥）； 2、1n x +∞⎰（0m >），1n x +∞⎰（0m >），11)d nxx +∞⎰（0m >），11sin)d n x x α+∞⎰（0α>，0m >）； 3、1d xx e x α+∞-⎰，10d xx e x α-⎰，1ln(1)d p x x x +∞+⎰，10ln(1)d px x x +⎰；4、10x ⎰，21x ⎰。

七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出），熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。

试解决下面的问题：1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）（1）1sin d p xx x +∞⎰，1cos d p x x x +∞⎰，1sin()d pmx n xx +∞+⎰1cos()d pmx n x x +∞+⎰，（其中0p >，0m ≠和n 为常数）； （2）1sin d x x x +∞⎰，112sin d x x x+∞⎰，21sin d x x +∞⎰，21cos d x x +∞⎰，41sin d x x x +∞⎰； 提示：利用（1）或变量替换后再用（1）。

（3）1011sin d x x x α⎰；提示：作变量替换1t x=化为无穷积分后再用（1）。

2、设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，且lim ()0x f x →+∞=（注意此条件蕴含了()0f x ≥，为什么），则（1）()sin d af x x x +∞⎰与()cos d af x x x +∞⎰都收敛；提示：用狄里克雷判别法。