r mg R ∫∫第 十 一 章 反 常 积 分§1 反常积分概念一 问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ?设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为mg R 2F = .x 2于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为2∫d x = mg R 2 1 - 1 .R x2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:图 11 - 1+ ∞mg R 2d x = lim r mgR 2 Rx 2 r → + ∞ R d x = mg R . x2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使122mv 0 = mg R .用 g = 9 .81 ( m 6s /2) , R = 6 .371× 106( m ) 代入 , 便得v 0 =2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?2∫· R u ∫ ∫ ∫ R2§1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h - x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x , 它们之间应满足πR 2 d x = v πr 2 d t ,图 11 - 2由此则有d t =R d x , x ∈ [0 , h] . r22 g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:h t f = 0 R 2d x . r 22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是u 2t f = lim∫ 2d xu → h-r2 g( h - x)= lim -2 2g r 2h - h - uu → h=2 h R .g r 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u] 上可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J, ( 1)u → + ∞ a则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作+ ∞ J =f ( x ) d x ,( 1′)a+ ∞ + ∞ 并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d x aa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :bb∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ u∫266第十一章 反 常 积 分∫ f ( x )d x = lim ∫f ( x ) d x .( 2)- ∞ u → - ∞ u对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ ∞af ( x ) d x =- ∞- ∞+ ∞ f ( x) d x + af ( x) d x , ( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] Ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .+ ∞注 3af ( x ) d x 收 敛的 几 何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积 J . 例 3 讨论无穷积分+ ∞图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x 1xp( 4)ud x1xp=1 1 - p ( u1 - p - 1 ) ,p ≠ 1 , ln u ,p = 1 ,1lim ∫d x= u → + ∞ 1 x pp - 1 , p > 1+ ∞ p ≤ 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 1; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :1∫) + ∞ d x 2 x( ln x) p ; 2) + ∞d x- ∞ 1 + x 2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图11 - 4ab∫∫∫∫§1 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有 ∫+ ∞d x + ∞d t2 x ( ln x ) p =∫ln 2 tp . 从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 : ∫d x + ∞d x - ∞ 1 + x2和∫a由于a1 + x 2.lim∫d x = lim ( arctan a - arctan u )u → - ∞ u1 + x2vu → - ∞= arctan a + π,2lim∫d x = lim ( arctan v - arctan a) v → + ∞ a1 + x2 v → + ∞π2- arctan a , 因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 , ∫+ ∞ d x ad x+ ∞ d x - ∞ 1 + x 2 =∫- ∞ 1 + x 2 +∫a1 + x2 = π . 注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 . 定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在任何内闭区间 [ u , b] Ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J ,( 5)u → a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作bJ =f ( x ) d x , ( 5′)a b并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 . a在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 b界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :b u∫f ( x) d x = lim ∫f ( x )d x . au → b-a其中 f 在 [ a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] Ì [ a , b)=1 ∫1 1 x 268第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分b c b∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x aacu b= lim∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .( 6)u → c-av → c+v其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u]Ì [ a , c) 和 [ v , b] Ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] Ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分b c b∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaacc v= lim∫f ( x) d x + lim ∫f ( x) d x , ( 7)u → a+uv → b-c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .例 5 计算瑕积分∫d x的值 .1 - x2 解 被积函数 f ( x) = 1在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u] Ì [ 0 , 1)1 - x 2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1 u ∫d x = lim∫d x 0 1 - x 2 - u → 1 1 - x 2例 6 讨论瑕积分 = lim u → 1 -1arcsin u = π. 2 ∫d x的收敛性 .xq( q > 0 ) ( 8)解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1d xu xq= 1 1 - q ( 1 - u 1 - q ) , q ≠ 1 , ( 0 < u < 1) , - ln u , q = 1故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且 ∫d x∫ d x1q = lim 0 u → 0 +uxq= 1 - q ;∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ a∫ §1 反常积分概念269而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 .如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分+ ∞我们定义d x 0 xp ( p > 0 ) . ( 9) ∫+ ∞ d x 1d x + ∞ d x0 x p =∫0 xp +∫1 x p , 它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 .习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :( 1∫) + ∞x e - x 02+ ∞d x ; (2)- ∞2 x e- xd x ;( 3∫) + ∞1 + ∞ d x ;(4) d x2 0e x+ ∞1 x ( 1 + x)+ ∞( 5∫)d x;(6)∫ e- xsin x d x;- ∞ 4 x 2+ 4 x + 50 + ∞+ ∞( 7∫)e xsin x d x ; (8)- ∞d x .1 + x22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :( 1∫) bd x1d x ;(2);a( x - a)p2 0 1 - x 21 ( 3∫)d x;(4)∫xd x ;0 | x - 1 |1 - x2 ( 5∫)1 1 ln x d x ;(6)0 0 x d x; 1 - x ( 7∫) 1d x 1d x;(8)p.x - x2x( ln x)b3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x 收敛时∫, b f 2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明∫: + ∞ f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 lim ax → +∞f ( x) = 0 .+ ∞5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim x → +∞f ( x) = A , 则 A = 0 .;∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫270第十一章 反 常 积 分+ ∞6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且a+ ∞f ( x)d x 与 af ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ ∞由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数 F( u )=f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则 .+ ∞定理 11 .1 无穷积分a≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是: 任给 ε > 0 , 存在 Guuu∫2f ( x ) d x -∫1f ( x )d x =∫ f ( x )d x< ε .aau此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应性质 .+ ∞性质 1 若a+ ∞+ ∞f1( x) d x 与af2( x ) d x 都 收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k1 f 1( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且a+ ∞+ ∞ + ∞ [ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1aaf 1 ( x ) d x + k 2af 2 ( x) d x . ( 1)+ ∞性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则 af ( x ) d x 与+ ∞ f ( x) d x 同敛态( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有 b+ ∞b+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x ,( 2)aab其中右边第一项是定积分 .+ ∞ 性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有+ ∞f ( x ) d x< ε .u21∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫2=§2 无穷积分的性质与收敛判别271事实上 , 这可由+ ∞u+ ∞ ∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得 .+ ∞性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 , 且有a+ ∞f ( x) d x 亦必收敛 , 并有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ ∞ + ∞f ( x) d x ≤ aa+ ∞f ( x ) d x . ( 3)证 由af ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥a , 当 u 2 > u 1 > G 时 , 总有uuf ( x ) d x2uf ( x ) d x < ε.1u 1利用定积分的绝对值不等式 , 又有u u 2f ( x ) d x ≤ 2uu1 1+ ∞f ( x ) d x < ε .再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .uu又因∫ f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ ∞+ ∞当f ( x ) d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出: 绝对收敛 的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 .二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u+ ∞由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x 收敛的u 充要条件是a| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫272第十一章 反 常 积 分有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足f ( x) ≤g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,+ ∞+ ∞则当 g( x ) d x 收敛时 aa+ ∞ + ∞| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ ∞例 1 讨论 0 sin xd x 的收敛性 . 1 + x 2+ ∞解 由于sin x 1d xπ1 + x2 ≤ 1 + x2 , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及∫1 + x2 = 为收敛 2(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫, sin xd x 为绝对收敛 . 0 1 + x 2上述比较法则的极限形式如下 :推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞| f ( x) |g( x )= c,则有 :( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫,+ ∞+ ∞ + ∞| f ( x ) | d x 与aa+ ∞g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由 ag( x ) d x 收敛可推知 a+ ∞ f ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(i i )) 当 c = + ∞ 时 , 由a+ ∞g( x ) d x 发散可推知 a+ ∞f ( x ) d x 也发散 .当选用∫d x作为比较对 象g( x ) d x 时 , 比较判别 法及 其 极限 形式 成1xpa 为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 ,则有 : ( i) 当 f ( x) ≤ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时+ ∞f ( x) d x 收敛 ;x pa+ ∞ ( ii) 当 f ( x) ≥ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时 f ( x) d x 发散 . xpa推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 :lim x → + ∞xpf ( x ) = λ .+ ∞( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 , f ( x ) d x 收敛 ;a+ ∞( ii) 当 p ≤ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时 ,af ( x) d x 发散 .+ ∞∫∫∫ ∫u∫∫∫2 1§2 无穷积分的性质与收敛判别273例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 : 1∫)+ ∞x αe - xd x; 2 ) 1+ ∞x 2d x . 0 x 5 + 1解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 .1) 由于对任何实数 α都有lim x → + ∞ x 2· x αe - x= lim x → + ∞ x α+ 2ex= 0 , 因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .2) 由于12lim x → + ∞x 2 ·x x 5+ 1= 1 ,因此根据上述推论 3( p = 1, λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .- ∞三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 . u定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) =f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 , a + ∞g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则 af ( x ) g( x ) d x 收敛 .lim x → + ∞u证 由 条 件 设f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当x > G 时 , 有 g( x ) < ε.4 M又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何 u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得∫f ( x ) g( x ) d x =g ( u 1∫)ξ f ( x ) d x + g( u 2∫)u2f ( x) d x .uuξ11于是有uξuf ( x ) g( x ) d x ≤ g( u 1 ) ·uuf ( x ) d x + g( u 2 ) ·∫ f ( x ) d x11ξξ u=g( u 1 ) ·∫f ( x ) d x ∫-f ( x ) d xaa22u ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫274第十一章 反 常 积 分2+ g( u 2 ) ·ξf ( x ) d x -∫f ( x ) d xε4 M ·2 M + + ∞aaε 4 M ·2 M = ε . 根据柯西准则 , 证得af ( x ) g( x ) d x 收敛 .+ ∞定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若 af ( x) d x 收敛 , g( x ) 在[ a , + ∞ ) + ∞上单调有界 , 则af ( x )g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .+ ∞ 例 3 讨论∫sin xd x 与 + ∞cos x 1 x p1 xp d x ( p > 0 ) 的收敛性 . 解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ∞( i) 当 p > 1 时1sin xd x 绝对收敛 .这是因为 x p+ ∞d x 而sin x x p≤ 1x p , x ∈ [1 , + ∞ ) , + ∞sin x1xp当 p > 1 时收敛 , 故由比较法则推知∫1+ ∞x p d x 收敛 . ( ii) 当 0 < p ≤ 1 时1usin xd x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 x p∫sin x d x = cos 1 - cos u ≤ 2 , 而 1当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故1x p+ ∞由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于sin xx p≥ + ∞sin 2x x = + ∞1 2 x -cos 2 x2 x , x ∈ [ 1 , + ∞ ) , cos 2 x 1 其中 1 2 x d x = 2 2 cos tt d t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而+ ∞d x1 2 x 是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条件收敛的 .例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 :<∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫+ ∞ 3 §2 无穷积分的性质与收敛判别275+ ∞sin x 2d x ,1+ ∞cos x 2d x ,1+ ∞x sin x 4d x .1证 前两个无穷积分经换元 t = x 2得到+ ∞+ ∞sin x 2d x = 11+ ∞ + ∞cos x 2d x =11sin t d t ,2 tcos t d t . 2 t由例 3 已知它们是条件收敛的 .对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2而得 ∫x sin x 4 d x = 1 + ∞ sin t 2d t ,1它也是条件收敛的 .2∫1从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 .习 题1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上 都可积 .证明 : + ∞若a收敛 .+ ∞f 2( x) d x 与a+ ∞g 2( x) d x 收 敛 , 则a+ ∞f ( x) g( x) d x 与a[ f ( x) + g( x ) ]2 d x 也 都3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x) .证明 :+ ∞ (1) 若a+ ∞ h( x )d x 与 a+ ∞g( x) d x 都收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 ;+ ∞ (2) 又若a+ ∞ h( x )d x = a+ ∞g( x) d x = A , 则 af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ ∞+ ∞( 1∫) d x; (2)xd x ;x 4 + 1+ ∞11 - e x+ ∞( 3∫)( 5∫)d x ;(4)1 +xln ( 1 + x)d x ;(6) x arctan x1 1 + x 3d x;+ ∞ x m d x( n 、m ≥ 0 ) . 1xn0 1 + x n5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :( 1∫)sin xd x ; (2 )1x+ ∞ sgn( sin x) d x ;1 + x2+ ∞+ ∞∫ ∫∫∫∫ ∫ a ∫bbua∫∫ ∫276第十一章 反 常 积 分( 3∫)x cos x d x;(4 )100 + x ln( ln x) sin x d x .eln x6 . 举 例 说 明∫:+ ∞+ ∞ + ∞f ( x) d x 收 敛 时aaf2( x ) d x 不 一 定 收敛∫;+ ∞ f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af 2 ( x) d x 也不一定收敛 . a+ ∞+ ∞7 . 证明: 若af ( x )d x 绝对收敛 , 且 lim x →+ ∞f ( x) = 0 , 则a+ ∞ f 2( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 af ( x)d x 收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o 1x, x →+ ∞ .+ ∞ 9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛, 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§3 瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函 b b数极限 lim∫f ( x) d x =∫f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 . u →+ uab定 理 11 .5 瑕积分 f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存a在 δ > 0 , 只要 u 1 、u 2 ∈ ( a , a + δ) , 总有∫f ( x ) d x -∫ f ( x) d x2=f ( x )d x< ε .uuu121性质 1 设 函数 f 1 与 f 2 的 瑕 点 同为 x = a , k 1 、k 2 为 常 数 , 则 当瑕 积 分 bbb∫ f 1( x ) d x 与∫ f 2( x ) d x 都 收敛 时 , 瑕积 分∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x 必 定 收aaa敛 , 并有bbb∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k ∫1f 1( x ) d x + k 2af 2( x ) d x . ( 1)a性质 2 设 函 数 f 的 瑕 点 为 x = a, c ∈ ( a , b ) 为 任 一 常 数 . 则 瑕 积 分 b c∫ f ( x ) d x 与∫f ( x ) d x 同敛态 , 并有aa b c b∫ f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d x , ( 2)aacb其中 f ( x ) d x 为定积分 .c+ ∞+ ∞∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫b∫ ( x - a)p( x - a) p ∫∫∫§3 瑕积分的性质与收敛判别277性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a , f 在 ( a , b] 的任一内闭区间 [ u , b] 上可 b积 .则当af ( x )d x 收敛时∫,bbf ( x) d x 也必定收敛 , 并有ab∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x)d x . ( 3)aabb同样地 , 当af ( x )d x 收敛时 , 称 f ( x) d x 为绝对收敛 .又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的 .判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 : 定理 11 .6 ( 比较法则 ) 设定义在 ( a , b] 上的两个函数 f 与 g , 瑕点 同为 x = a, 在任何 [ u , b] Ì ( a , b] 上都可积 , 且满足f ( x ) ≤ g( x) , x ∈ ( a , b] . b则当 g( x ) d x 收 敛时 ,abbf ( x ) d x 必定 收 敛 ( 或者 , 当aaf ( x)d x 发散 时 ,bg ( x ) d x 亦必发散 ) . a推论 1 又若 g( x) > 0 , 且 lim x → a +bf ( x )g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 < c < + ∞ 时 ,abf ( x ) d x 与 g( x ) d x 同敛态 ;ab( ii ) 当 c = 0 时 , 由∫g( x ) d x 收敛可推知∫ f ( x ) d x 也收敛; aabb( iii ) 当 c = + ∞ 时 , 由∫g( x ) d x 发散可推知∫ f ( x ) d x 也发散 .aa当选用∫ d x b作为比 较对象 g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为 a如下的推论 :( x - a)pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] Ì ( a , b] 上可积 , 则有 :( i) 当 f ( x) ≤1, 且 0 < p < 1 时 ,abf ( x) d x 收敛 ;( ii) 当 f ( x) ≥ 1, 且 p ≥ 1 时 , a f ( x) d x 发散 .推论 3 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] Ì ( a , b] 上可积 .如果则有 :lim x → a +( x - a)pf ( x ) = λ,b∫ ∫ ∫x278第十一章 反 常 积 分b( i ) 当 0 < p < 1 , 0≤λ< + ∞时af ( x)d x 收敛 ;b ( ii) 当 p ≥ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x)d x 发散 .1∫) ln x d x ; 2∫) 0 x2x 1 ln x d x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号———ln x在 ( 0 , 1] 上恒为负 , x 在 ( 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x 1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34< 1 时 , 有λ= lim x → 0 +3 x 4· 1ln x x = - lim x → 0 +ln x1x - 4所以瑕积分 1) 收敛 .= lim x → 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由λ = lim + x → 1 ( x - 1 ) ·xln x = lim + x → 1x - 1 ln x = 1 , 推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2 讨论反常积分的收敛性 .+ ∞Φ(α) =x α- 11 + x d x解 把反常积分 Φ( α) 写成 1α- 1+ ∞ α- 1 Φ(α) =∫xd x +∫x d x0 1 + x 1 1 + x = I(α) + J(α) .( i) 先讨论 I(α) .当 α- 1≥ 0 , 即 α≥1 时它 是定积 分 ; 当 α< 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于lim x → 0 +α- 1x 1 - α· 1 + x= 1 , 根据定理 11 .6 推论 3 , 当 0 < p = 1 - α< 1 , 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I (α) 收1α∫∫ §3 瑕积分的性质与收敛判别279敛 ; 当 p = 1 - α≥1 , 即 α≤0 且 λ= 1 时 , I (α) 发散 .( ii) 再讨论 J(α) , 它是无穷积分 .由于α- 1lim x → + ∞ x 2 - α· x 1 + x= lim x → + ∞ x 1 + x = 1 ,根据定理 11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - α> 1 , 即 α< 1 且 λ= 1 时 , J(α) 收敛 ; 而当 p = 2 - α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 .综上所述 , 把讨论结果列如下表 :由此可见 , 反常积分 Φ(α) 只有当 0 < α< 1 时才是收敛的 .习 题1 . 写出性质 3 的证明 .2 . 写出定理 11 .6 及其推论 1 的证明 .3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :( 1∫) ( 3∫) d x; (2 ) 0 ( x - 1 )2d x ; (4 ∫) 0 x ln x sin x d x ; 0 x362/ln x d x ;0 1 - x ( 5∫) ( 7∫) 1 arctan x 0 1 - x 3 d x ; (6 ) 1 sin 1 d x; (8 ) π62/0 + ∞ 1 - cos xx md x;e - xln x d x . 0 x x 04 . 计算下列瑕积分的值 (其中 n 为正整数 ) :( 1∫)1 ( ln x ) nd x ; (2 )π62/1x nd x .1 - xπ62/5 . 证明瑕积分 J =∫ ln( s in x )d x 收敛 , 且 J = - πln 2 .( 提示 : 利用∫ ln (sin x) d x =π62/0 2ln( cos x )d x , 并将它们相加 .)6 . 利用上题结果 , 证明 :π2( 1∫) θln( sin θ)d θ = - πln 2; 0 2( 2∫)θsin θd θ = 2πln 2 . 0 1 - cos θ2 1 π 11 π1∫2∫ ∫∫ λ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ 280第十一章 反 常 积 分总 练 习 题1 . 证明下列等式 :1 p - 1 + ∞ - p( 1∫) x d x =∫x d x , p > 0;0 x + 1 1 x + 1+ ∞ p - 1 + ∞ - p( 2∫) x d x =∫x d x , 0 < p < 1 .0 x + 1 0 x + 12 . 证明下列不等式 : ( 1) π <∫d x < π ; 2 2 ( 2) 1 2 0 1 - 1e 1 - x 4+ ∞ <0 2 e - x d x < 1 + 1 . 2e3 . 计算下列反常积分的值 :+ ∞+ ∞( 1) 0 e- axcos bx d x( a > 0 ) ; (2)e- a xsin bx d x( a > 0 ) ;( 3∫)+ ∞ln x π62/d x ;(4)ln( tan θ) d θ .1 + x 2+ ∞ 4 . 讨论反常积分sin bxd x ( b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . x5 . 证明: 设 f 在 [0 , + ∞ ) 上连续 , 0 < a < b . (1) 若 lim x → +∞f ( x) = k , 则+ ∞f ( ax) - f ( bx)x+ ∞d x = ( f (0) - k) lnb;a(2) 若 af( x) d x 收敛 , 则x6 . 证明下述命题 :+ ∞f ( ax) - f ( bx)xd x = f (0) ln b .a + ∞(1) 设 f 为[ a , + ∞) 上的非负连续函数 .若a+ ∞x f ( x )d x 收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 .(2) 设 f 为 [ a , + ∞ ) 上的连续可微函数 , 且当 x → + ∞ 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ ∞+ ∞f ( x ) d x 收敛的充要条件为 aax f ′( x ) d x 收敛 .●。