不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1不定积分的概念原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.原函数的个数: 若是在区间 上的一个原函数, 则对，都是在区间 上的原函数；若也是在区间 上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。
记作⎰dx x f )(一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰xa dt t f )(是的一个原函数。
1.2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)121(121113222424。
例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222 例3：222222(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。
例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =•=⎰⎰⎰C x +=2sin 21 例4：()3221C===+例5：11x x⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2112x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12211212C Cx ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t tx d x x dx x x xx t 21arctan 21arctan 2)1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t ax t b ax nn -==+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰解：令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而22a x dx -⎰=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知22sin cos xa x t t a a -==所以22a x dx -⎰=2222arcsin 22a x a xa x C a aa -+⋅+=222arcsin 22a x x a x C a +-+例8:⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dtdt t t dt t x x dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-++-=6361ln 216.(4)分部积分法当积分⎰)()(x dg x f 不好计算,但⎰)()(x df x g 容易计算时,使用分部积分公式:)()()()()()(⎰⎰-=x df x g x g x f x dg x f .常见能使用分部积分法的类型:(1)⎰dx e x x n ,⎰xdx x n sin ,⎰xdx x n cos 等,方法是把x x e x cos ,sin ,移到d 后面,分部积分的目的是降低x 的次数(2)⎰xdx x m n ln ,⎰xdx x m n arcsin ,⎰xdx x m n arctan 等,方法是把n x 移到d 后面,分部几分的目的是化去x x x arctan ,arcsin ,ln .例9:2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=⎰⎰⎰2222()x x x x x e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C-++例10:2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰211ln (ln 1)dx x x Cx x x -+=-++⎰例11: 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=⎰⎰()33222arctan 1x x x x x dx x ++-=+⎰()322arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫+--=⎪+⎝⎭⎰()()32212arctan ln 12x x x xx C +-+++例12: ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 例13: ⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21. 以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例14 设函数)(x f 的一个原函数是,sin xx求⎰'dx x f x )(。
解： 2sin cos sin )(x x x x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛= c x xx x x x xdx x f x xf x f xd dx x f x +--=-=='⎰⎰⎰sin sin cos )()())(()(2c xxx +-=sin 2cos [评]:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法. 例15 计算dx x xe x ⎰+23)1(2arctan[说明]涉及到x x arctan ,arcsin 的积分一般有两种处理方法. (1)用分部积分法; (2)作变量替换令t x t x ==arctan arcsin 或解法一: ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=++=+2arctan 22arctan 2arctan 11221)1()1(21)1(2323xd e x d x e dx x xe xx xdx xe x e x xx ⎰++++-=2arctan 2arctan 2111111 dx x e exx x⎰+++-=23)1(112arctan arctan 2……评:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法. 解法二:令y x y x tan ,arctan ==C y y e dy ye dy y y e y dx x xe y yy x+-==⋅⋅=+⎰⎰⎰)cos (sin 21sin sec sec tan )1(322arctan 23 C x xx e x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=22arctan 11121 评:变量替换后几分的难度大大降低,dy ye y ⎰sin 是每种教材上都有的积分.2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.(1)基本积分法例16 计算⎰++330221)51(xx dx解： 令t x tan =，则⎰⎰⎰+=+=++6022602233022sin 5cos cos sec )tan 51(sec 1)51(ππtt tdt t t tdt x x dx 8)sin 2arctan(21)sin 2(1)sin 2(216602πππ==+=⎰t t t d(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 例17 计算dx x x ⎰-302解：38)2()2(2322030=-+-=-⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x x 例17 计算dx x x ⎰-3}1,max{解：dx x x ⎰-1}1,max{=54)1(121210=+-⎰⎰dx x dx x(3)利用函数的奇偶性化简定积分⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-aa ax f dx x f x f dx x f 0)()()(0)(是偶函数当是奇函数当例18 计算dx x x ⎰-++1122)1( 解：dx x x ⎰-++1122)1(=dx x x dx ⎰⎰--++11211121=2+0=2例19 计算dx e x x x ⎰--+11)(解：dx e x x x ⎰--+11)(=dx xe x ⎰--11dx e x x ⎰--+11114220---=+=⎰e dx xe x例20 计算dx e xe x x ⎰-+4421sin ππ 分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。
但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。
解：dx e x e dx e x e dx e x e x x x x x x ⎰⎰⎰--+++=+0424024421sin 1sin 1sin ππππ 令y x -=，dx e x dy e y dy e y e y d e y e dx e x e x y y y y yx x ⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=-+-=+-----4024*********421sin 1sin 1sin )(1)(sin 1sin πππππ 所以18sin 1sin 1sin 1sin 402042402442-==+++=+⎰⎰⎰⎰--ππππππxdx dx e x e dx e x e dx e x e x x x x x x (4)一类定积分问题例21 已知)(x f 是连续函数，⎰-=12)(23)(dx x f x x f ，求)(x f分析：本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。