E L dEy j ，其大小
E


dE
sin

L
sin 4 0 R 2
QR
dl
由几何关系 dl Rd ，统一积分变量后，有
E
0
Q 4 20R2
sin d

Q 2 20R2
方向沿 y 轴负方向。
9.15 两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为
解 （1）两球相距很远，均可视作孤立导体，孤立导体球电势
V1

1108 C 40 102 m
V2

1108 C 40 2 102 m
可见两球电势不相等，相连后两球电势必相等，因此必然会有电荷在两球体之间转移，
设达到平衡时小半径球带电量为 q1 ，大半径球带电量 q2 ，由电势相等可得

q 4 0l 2

q 2 0l 2
方向沿 A 指向 B。
O 点电势为正负两个点电荷产生的电势的叠加
VO

q 4 0l

q 4 0l

0
同理，
ED

q 40l 2

q 40 (3l)2

2q 9 0l 2
方向沿 B 指向 A
VD

q 4 0 3l

q 4 0l

开为 2d，试求(1)外力所做的功（2）两极板间的相互作用力。
解 （1）由于匀速拉开的，因此外力做功等于电容器储能的增加。拉开前后的电容分别为
C1

0S d
， C2

0S 2d
储能的增量为
E

E2

E1

1 2
Q2
(
1 C2

1 C!
)

Q2 2 0 S
d
所以外力所作的功
W
E

Q2 2 0 S
1 R1

1 R2

q1 q2 4 0 R2

q1 4 0 R1

q2 4 0 R2
9.30 半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.0×10-8 C，两球相距很 远．若用细导线将两球相连接．求
（1） 每个球所带电荷；
（2） 每球的电势．
dE

2πRdx L 40 R2 L
x x 2 3/2


R 4 0

d R2 R2
L
L
x
x2
2
3/ 2
方向沿 x 轴正方向。
由于柱面上所取各小圆环在 P 点产生的电场强度方向均沿 x 轴正方向，所有小圆环 在 P 点产生的电场强度的叠加即为带电柱面在 P 点产生的电场强度，其大小为
d
（2）因两极间相互作用力 F 与外力 F 等值反向，而 外
F（2d-d）= E 外
F 外

E
/
d

Q2 2 0 S
所以
F

Q2 2 0 S
9.41 球形电容器所带电量为 Q，内外半径为 R1 和 R2 ，中间充满电容率介电常数 的电介质,
试求球形电容器电场中的能量。
解 利用高斯定理容易求得极间电场强度
q1 40 102

2 108 q1 40 2 102
解得
q1

2 3
108 C ,
q2

4 3
108 C
（2）V1

q1 4 0 r1

2 3

108
C
40 102 m

6000V
V2

q2 4 0 r2
6000V
9.39 空气介质平行板电容器板面积为 S，间距为 d，充电使两板带电±Q，断电后将二板拉

q 6 0l
（2）WOD

q0U OD

q 6 0l
（3）WD

(VD
V )

q 6 0l
9.20 在习题 9.16 中，求 P 点的电势。
解 如图所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。
在直导线上任取一线元 dx 到 A 点距离为 x，带电线元
在 P 点产生的电势为
强具有球对称性，可以用高斯定理求场强。
（2）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。
当 r>R2 时，取半径为 r 的高斯面 S1，如图所示。由高斯定理有
s1
E
dS

q1 q2 0
因为场有上述的对称性，所以
解得
s1 E
dS

E 4r 2

q1 q2 0
E

q1 q2 4 0r 2
E

Q 4 r2
er
式中， R1 r R2 ，因能量密度
w

1 2

E2

2
(
Q 4 r
2
)2
所以电容器储能
W
wdV
R2 R1
2
(
Q 4 r
2
)2
4
r
2dr

Q2 8
(
1 R1

1 R2
)
我们知道，球形电容器的电容
C

4
(
R1R2 R2 R1
S1 S2 R1 q1
q2 R2
S3
当 R1<r<R2 时，取半径为 r 的高斯面 S2，如图所
示。由高斯定理
S2
E
dS

q1 0
因场强有球对称性，故
解出
S2
E dS

E 4r 2

q1 0
E

q1 4 0r 2
当 r<R1 时，取半径为 r 的高斯面 S3，如图所示。由高斯定理
(a)
R P
A dx l
(b)
BP x
R
解 如图(b)所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。在直导线上任取一线元 dx 到 A
点距离为 x，带电线元在 P 点产生的电场强度为
dE

1 4 0
(l
dx x R)2
而直导线上各段带电线元在 P 处产生场强方向相同（沿 x 轴正方向），故总场强为
EP
dE

1 4 0
l dx 0 (l x R)2

1 4 0

(l

λ x
R)
l 0

λ 4 0
(
1 R

1 R
l
)
方向沿 x 轴正方向。
9.17 在半径为 R1 和 R2 （ R2 R1 ）的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷 q1 和 q2 ，求
场强分布。 解 （1）对称性分析：①场强沿径向；②离球心 O 距离相等处，场强的大小相同。可见场
dVP

dx 40 (l x

R)
A dx l
所有带电线元在 P 点产生的电势为
Vp
l 0
dVp

l 0
dx 40 (l x
R)
4 0l(lx R)
l 0

4 0
ln
l
R R
BP x
R
9.23 一根长为 L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为 ，试求在圆心 O

1 2
0E2

4r 2dr

2 0 E 2 r 2dr
所求能量为：
We

V
wedV

R 0
2
0[
Q 4 0
R3
r]2 r2dr

R
2
0
[
Q 4 0
r
2
]2r 2dr

Q2 8 0 R6
R
r 4dr
0

Q2 8 0
R
1 r2
dr

Q2 40 0 R 6
R5

Q2 8 0 R

1 4 0
(
3Q2 5R
)
)
这样上式可写成W

Q2 2C
，这就印证了关于电容器储能的结论。
9.42 有一个均匀带电荷为 Q 的球体，半径为 R，试求电场能量。
解：由高斯定理知，场强为
E


Q 4 0R3
Q 4 0r 2
r(r R) (r R)
在半径为 r ,厚为 dr 的球壳内，能量为：
dWe wedV we 4r 2dr
E
dE


R 4 0
L d R2 L x2 0 R2 L x2 3/2

R 2 0

1 R

1
R2

L2

电场强度方向沿 x 轴正向。
9.28 求习题 9.17 中电势的分布
解 根据场强分布，可以从电势的定义出发求出空间的电势分布

4 0
9.26 如图所示，一半径为 R 、长度为 L 的均匀带电圆柱面，电荷面密度为 。试求
端面处轴线上 P 点的电场强度。
(a)
(b)
解 取底面圆心处为坐标原点，x 轴沿轴线向上为正。在距 O 点为 x 处的圆柱面上取高度 为 dx 的圆环，其上电荷为 dq 2πRdx
小圆环在 P 点产生的电场强度大小为
当 r>R2 时