2020-2021学年深圳市福田区红岭中学高一新生入学考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分36分）1．（3分）相反数等于它本身的数是（）A．1B．0C．﹣1D．0或±1【解答】解：相反数等于它本身的数是0．故选：B．2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．3．2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（）A．0.15×108B．1.5×107C．15×107D．1.5×108【解答】解：将150000000用科学记数法表示为1.5×108．故选：D．4．（3分）下列几何体的左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：选项B中的几何体的左视图和俯视图为：选项C中的几何体的左视图和俯视图为：选项D中的几何体的左视图和俯视图为：因此左视图和俯视图相同的是选项D中的几何体．故选：D．5．（3分）数据3、4、6、7、x的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．4B．4.5C．5D．6【解答】解：∵数据3、4、6、7、x的平均数是5，∴（3+4+6+7+x）÷5＝5，解得：x＝5，把这些数从小到大排列为：3、4、5、6、7，最中间的数是5，∴这组数据的中位数是5；故选：C．6．（3分）下列运算：①x2•x3＝x6；②x2+x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（﹣3x）2＝9x2中，正确的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③【解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5，因此①不正确；根据整式加减的计算方法，合并同类项可得x2+x2＝2x2，因此②正确；（x2）3＝x2×3＝x6，因此③正确；④（﹣3x）2＝（﹣3）2•x2＝9x2，因此④正确；因此正确的有：②③④，故选：A．7．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝50°，故选：C ．8．（3分）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若AD ＝AC ，∠A ＝80°，则∠ACB 的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【解答】解：根据作图过程可知： DM 是BC 的垂直平分线， ∴DC ＝DB ， ∴∠B ＝∠DCB ，∴∠ADC ＝∠B +∠DCB ＝2∠DCB ， ∵AD ＝AC ，∠A ＝80°，∴∠ADC ＝∠ACD =12（180°﹣∠A ）＝50°， ∴∠DCB =12∠ADC ＝25°，∴∠ACB ＝∠DCB +∠ACD ＝25°+50°＝75°． ∴∠ACB 的度数为75°． 故选：C ．9．（3分）如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OB 、OD ，若四边形ABOD 是平行四边形，则∠ABO 的度数是（ ）A．50°B．55°C．60°D．65°【解答】解：∵四边形ABOD是平行四边形，∴∠A＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠C，∠A+∠C＝180°，∴∠C＝60°，∠A＝∠BOD＝120°，∵AD∥OB，∴∠ABO+∠DAB＝180°，∴∠ABO＝60°，故选：C．10．（3分）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）A．（15√3−15）海里、15海里B．（15√3−15√2）海里、5海里C．（15√3−15√2）海里、15√2海里D．（15√3−15）海里、15√2海里【解答】解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，∴∠CDS＝∠CAS＝30°，∵∠ABS＝15°，∴∠DSB＝15°，∴SD＝BD，设CS＝x，在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，∴AC=√3x，AS＝DS＝BD＝2x，∵AB＝30海里，∴√3x+√3x+2x＝30，解得：x=15(√3−1)2，∴AS＝（15√3−15）（海里）；∴BS=√CS2+BC2=15√2（海里），∴灯塔S离观测点A、B的距离分别是（15√3−15）海里、15√2海里，故选：D．11．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象．下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c＝1有两个实数根．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①∵抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，∴b＞0，①正确；②x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，②正确；③抛物线与直线y＝1有两个交点，∴ax2+bx+c＝1有两个实数根，③正确；故选：D．12．（3分）如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为（ ）cm 2A ．30B ．20C ．403D ．503【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ＝6cm ， ∵△ABF 的面积为24cm 2， ∴12×AB ×BF ＝24，∴BF ＝8cm ， ∴AF =√AB2+BF2=√36+64=10cm ，∵沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处， ∴AD ＝AF ＝BC ＝10cm ，DE ＝EF ， ∴CF ＝2cm ， ∵EF 2＝CE 2+CF 2， ∴DE 2＝（6﹣DE ）2+4， ∴DE =103， ∴△ADE 的面积=12×10×103=503cm 2， 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）分解因式：6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3＝ ﹣y （3x ﹣y ）2 ． 【解答】解：原式＝﹣y （y 2﹣6xy +9x 2）＝﹣y （3x ﹣y ）2， 故答案为：﹣y （3x ﹣y ）214．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为 4 ．【解答】解：盒子内乒乓球的个数为2÷13=6（个），白色兵乓球的个数6﹣2＝4（个）故答案为4．15．（3分）如图，已知点A在y轴上，反比例函数y=4x（x＞0）的图象经过▱AOBC的顶点B和AC的中点D，∠ACB＝45°，则点C的坐标为（2，5）．【解答】解：延长CB，交x轴于E，∵▱AOBC中，∠ACB＝45°，∴OA∥BC，OA＝BC，∠AOB＝45°，∵点A在y轴上，∴CE⊥x轴，∴∠BOE＝45°，∴BE＝OE，∴设B（m，m），∵反比例函数y=4x（x＞0）的图象经过▱AOBC的顶点B，∴m2＝4，∴m＝±2（负数舍去），∴B（2，2），设OA＝n，则BC＝n，∴A（0，n），C（2，n+2），∵点D是AC的中点，∴D（1，n+1），∵点D在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，∴1×（n+1）＝4，∴n＝3，∴C （2，5）， 故答案为（2，5）．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，tan B =34，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，则DE ＝87．【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝2，tan B =34， ∴BC =AC tanB =83， 如图，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ， ∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ， ∴DE ＝DF ，由三角形的面积公式得，12AC •DF +12BC •DE =12AC •BC ，即：2DE +83DE ＝2×83， 解得，DE =87，三．解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：|1−√2|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（12）﹣2．【解答】解：原式=√2−1﹣2×√22+1﹣4 =√2−1−√2+1﹣4 ＝﹣4．18．（6分）先化简，再求值（1−4x+3）÷x 2−2x+12x+6，其中x =√2+1． 【解答】解：（1−4x+3）÷x 2−2x+12x+6=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2 =x−11⋅2(x−1)2 =2x−1， 当x =√2+1时，原式=√2+1−1=√2．19．（7分）某校为了了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了 200 名学生，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为 108 °；（3）若该校有1900名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数． 【解答】解：（1）这次调查的了：90÷45%＝200名学生， 具有“较强”意识的学生有：200﹣20﹣30﹣90＝60（人），故答案为：200，补全的条形统计图如右图所示；（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为360°×60200=108°，故答案为：108；（3）1900×20+30200=475（人）答：全校需要强化安全教育的学生有475人．20．（8分）（1）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由，你添加的条件是：BD＝DC．（2）在（1）的基础上，过点D作⊙O的切线与AC相交于E，此时，判断DE是否与AC垂直，并请你说明理由．【解答】解：（1）BD＝DC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD和△ACD中，{AD=ADBD=DC，∴△ABD≌△ACD（HL）；（2）DE⊥AC，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，由（1）可知，BD＝DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CED＝∠ODE＝90°，即DE⊥AC．21．（8分）某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元．（1）一、二月份冰箱每台售价各为多少元？（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a＝100．（直接写出结果）【解答】解：（1）设一月份冰箱每台售价x元，则二月份冰箱每台售价（x﹣500）元，25（x﹣500）﹣20x＝10000，解得，x＝4500，∴x﹣500＝4000，答：一月份冰箱每台售价4500元，则二月份冰箱每台售价4000元；（2）由题意可得，3500y+4000（20﹣y）≤76000，解得，y≥8，∵y≤12且为整数，∴y＝8，9，10，11，12，∴共有五种进货方案；（3）设总获利w 元，w ＝（4000﹣3500﹣a ）y +（4400﹣4000）（20﹣y ）＝（100﹣a ）y +8000，∵（2）中各方案获得的利润相同，∴100﹣a ＝0，解得，a ＝100，故答案为：100．22．（9分）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB =AB AC ，那么称点B为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 （10√5−10） cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】解：（1）∵点B 为线段AC 的黄金分割点，AC ＝20cm ，∴AB =√5−12×20＝（10√5−10）cm ．故答案为：（10√5−10）．（2）延长EA ，CG 交于点M ，∵四边形ABCD 为正方形，∴DM ∥BC ，∴∠EMC ＝∠BCG ，由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ，∴∠EMC ＝∠ECM ，∴EM ＝EC ，∵DE ＝10，DC ＝20，∴EC =√DE 2+DC 2=√102+202=10√5，∴EM ＝10√5，∴DM ＝10√5+10，∴tan ∠DMC =DC DM =2010√5+10=2√5+1=√5−12． ∴tan ∠BCG =√5−12， 即BG BC =√5−12， ∵AB ＝BC ，∴BG AB =√5−12， ∴G 是AB 的黄金分割点；（3）当BP ＝BC 时，满足题意．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°，∵BE ⊥CF ，∴∠ABE +∠CFB ＝90°，又∵∠BCF +∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＝∠ABE ，∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴BF ＝AE ，∵AD ∥CP ，∴△AEF ∽△BPF ，∴AE BP =AF BF ，当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时，∵AE ＞DE ，∴AF BF =BF AB ，∵BF ＝AE ，AB ＝BC ，∴AF BF =BF AB =AE BC ，∴AE BP =AE BC ， ∴BP ＝BC ．23．（9分）如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ =10√23，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM 的最小周长．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B 两点，对称轴为直线x ＝4， ∴点A 的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴{4a+2b+c=0 36a+6b+c=0 c=6，解得a=12，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y=12x2−4x+6；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3±√17．∴P（4，3+√17）或P（4，3−√17）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+√17）或P（4，3−√17）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ=10√2 3，∴CH＝QH=10√23×√22=103，∴OH ＝6−103=83， ∴点Q 的坐标为（103，83）， 在x 轴上取点G （﹣2，0），连接QG 交y 轴于点M ，则此时△AQM 的周长最小，∴AQ =√(2−103)2+(83)2=4√53，QG =√(103+2)2+(83)2=8√53，∴AQ +QG =4√5+8√53=4√5， ∴△AQM 的最小周长为4√5．。