Y f ( X ) exp(u)
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之间， 反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出 与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形 式后，可以计算或估计其参数。
• •
随机前沿生产函数(Stochastic Frontier Production Function)在确定性生产函数的基础上 提出了具有复合扰动项的随机边界模型。 其主要思想为随机扰动项ε应由v 和u 组成, 其 中v 是随机误差项, 是企业不能控制的影响因素, 具有随机性, 用以计算系统非效率; u是技术损失 误差项, 是企业可以控制的影响因素, 可用来计算 技术非效率。很明显, 参数型随机前沿生产函数体 现了样本的统计特性, 也反映了样本计算的真实性。
函数类型
线性函数 科布道格拉斯函 数 二次函数
函数式
标准化二次 函数 超对数函数
广义列昂惕 夫（Leontief） 固定替代弹 性函数(CES)
2. 随机前沿生产函数
• 2.1 相关理论知识 • 2.2 发展进程 • 2.3 随机前沿生产函数 • 2.4 估计参量 • 2.5 假设检验
2.1相关理论知识
2.3 随机前沿生产函数
•
传统的生产函数只反映样本各投入因素与平 均产出之间的关系, 称之为平均生产函数。测算全 要素生产率的传统方法是索洛余值法(SRA) ,其关 键是假定所有生产者都能实现最优的生产效率,从 而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归 结为技术进步( technological progress) 的结果,这 部分索洛剩余后来被称为全要素生产率。 但是1957年,Farrell 在研究生产有效性问题时 开创性地提出了前沿生产函数(Frontier Prodution Function)的概念。对既定的投入因素进行最佳组 合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经济学中所 说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。
•
由式（1）确定的模式被称为随机前面生产函 数，产出值的上界是随机变量 。随机 误差 可以是正值也可以是负值，因此随机前沿 面的产出对于前沿面模型的确定部分 是 有偏差的。随机前沿面模型的这些重要特点可以 通过图示说明。为了方便说明，首先要限定只有 唯一的投入 获得产出 。在这个前提下的科 布· 道格拉斯随机前沿生产函数如下
•
•
•
•
前沿生产函数(Frontier Prodution Function) 反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合 下, 企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。 通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的 差距可以反映出企业的综合效率。 前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参 方法。两者都可以用来测量效率水平。 参数方法沿袭了传统生产函数的估计思想, 主 要运用最小二乘法或极大似然估计法进行计算。 参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形 式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算。
通常假设每个v i与 u i 互相独立分布，并且这两种误 差与 xi 中的解释变量是不相关的。此外： （期望为0） （同方差） （不相关） （c为常数，同方差） （不相关）
•
基于这些假设，可以使用最大似然法（ML） 或者修正的普通最小二乘法（COLS）估计参数和 随机变量，进而得到技术效率 TEi，由于最大似然 估计量具有很大令人满意的大样本特征（例如渐 进性），它通常要优于其他估计，如COLS。
i u
• 其中令
I i I 2 1 ln L ln I ln ln ( ) 2 2 2 i 1
且 。 如果 ，则不会有技术无效率效应，并且所 有与前沿面的偏差都是由噪声造成的。利用这种 参数定义法，对数似然函数为
i2
i 1
I
式中， 是复合误差； 是标准正态分布变量在x评价的累积分布函数。 最后对似然函数求最大值，通常要对未知参 量求一阶倒数，然后把它们设定为0。
•
•
•
1977 年 ， Aigner ， Lovell ， Schmidt 和 Meeusen，Van den Broeck分别独立提出了随机 前沿生产函数，之后逐渐发展起来的随机前沿生 产函数法则允许技术无效率的存在，并将全要素 生产率的变化分解为生产可能性边界的移动和技 术效率的变化，这种方法比传统的生产函数法更 接近于生产和经济增长的实际情况。能够将影响 TFP的因素从TFP的变化率中分离出来，从而更加 深入地研究经济增长的根源。 利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer （1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli （1988，1992，1995）等对技术效率对TFP和产 出的影响做了大量的实证研究。
或 或
确定部分
噪声
无效率
图1表示的就是这样一个前沿生产函数，其中表 示了两个公司A和B的投入和产出，同时也图示 了随机前沿生产函数模型的确定成分，由此来反 映其规模报酬递减的特性。横轴表示投入，纵轴 表示产出值。公司A在投入水平 的下得到产 出 。而公司B在投入水平 下得到产出 。 如果没有技术无效率效应（例如如果 和 都 等于0），则A和B两个公司的前沿生产函数产出 分别为：
•
•
而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一 个包含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中 非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最 大产出, 或以最小的投入生产出一定的产出。 但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要 运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统 计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另 外, 非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得 不舍弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定 性。因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产 函数的计算。
பைடு நூலகம்
•
这个前沿面模型的特点可以推广到公司具有 多个投入的情形。特别是（未观测的）前沿面产 出均匀分布在前沿面确定部分的上方和下方。技 术效率可以用计算观测产出与相应的随机前沿面 产出的比值：
•
按照这种方法的技术效率取值为0~1.很明显 可以看出，技术效率预测的第一步是估计随机前 沿生产函数的参数。
2.4估计参量
图1 随机生产前沿面
Y
确定性前沿面
噪声影响 无效率 影响
噪声影响
无效率 影响
0
X XA XB
•
从图1中可以很清楚的看到，公司A前沿面产 出在生产前沿面的确定值的上方，这是因为噪声 效应为正值，而公司B的前沿面产出在生产前沿面 得确定值的下方，因为噪声效应为负值。同样可 以看到，公司A的观测产出在前沿面得确定值的下 方，这是因为噪声效应和技术无效率效应的总和 为负值。
Aigner，Lovell和Schmidt(1977)以及Meeusen 和Broeck(1977)都分别提出了如下形式的随机前 沿面生产函数： (1) 式中， 代表第i家公司的产出； 是包含投入对 数的K*1向量；β是待估参数的列向量； 是与 技术无效率相关的非负随机变量； 为观测误差 及其他随机因素
随机前沿生产函数
随机前沿生产函数
• 1. 生产函数概述 • 2. 随机前沿生产函数 • 3. SFA与其他方法的比较 • 4. Frontier4.1
1. 生产函数概述
• 1.1 发展进程 • 1.2 常用生产函数的具体形式
1.1 发展进程
•
任何生产行为都是在特定的生产技术条件下 进行的，这种特定的生产技术关系决定了一个生 产过程投入和产出的数量上的对应关系，描述这 种对应关系的工具就是生产函数。 从 20 世 纪 20 年 代 末 , 美 国 经 济 学 Cobb 和 Doyglas 提 出 生 产 函 数 这 一 名 词 ， 并 用 1899— 1922年生产情况资料导出著名的Cobb-Doyglas生 产函数以来，不断有新的研究成果出现。使生产 函数的研究与应用呈现常盛不衰的局面。
1.2 常用生产函数的具体形式
•
把生产函数F(X)具体化，可以得到多种常用 生产函数的具体形式。其中较为常用的有柯布道 格拉斯生产函数（C-D生产函数）、线性生产函数、 列昂惕夫生产函数、固定替代弹性生产函数 （CES生产函数）和超越对数生产函数(Translog 生产函数).
一般常见的函数形式
•
• 3.生产前沿面（Production Frontier）：表示
的是对于不同水平的投入可以获得的最大产出水 平。也称生产边界，它可以用来定义投入和产出 的关系。 4.规模效率(Scale Efficiency):是指资源投入规 模对生产效能的影响，即衡量企业是否能够得当 的要素投入比例。 5.配置效率（Allocative Efficiency）：反映了 一个公司合理划分投入成份，并合理安排对应价 格和生产技术的能力。
• •
2.2 发展进程
•
20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯 （P· Douglas）与数学家柯布（C· Cobb）合作提出 了生产函数理论，开始了生产率在经济增长中作 用的定量研究。 1957年，美国经济学家罗伯特· 索洛（R· Solow） 在《经济学与统计学评论》上发表了《技术变化 与总量生产函数》一文，第一次将技术进步因素 纳入经济增长模型。在定量研究中，索洛将人均 产出增长扣除资本集约程度增长后的未被解释部 分归为技术进步的结果称其为技术进步率，这些 未被解释的部分后来被称为“增长余值”（或 “索洛值”），也即为全要素生产率（TFP）的增 长率。
1967年 1968年 1968年 1971年
Sato 二级CES生产函数 Sato,Hoffman VES生产函数 Aigner,Chy 确定性前沿生产函数 Christensen,Jorgenson 超越对数生产函数 1971年 Diewert 广义列昂惕夫生产函数 1979年 Brown,Caves,Christensen 多产出超越对数函数 1980年 Greene 最大可能前沿生产函数