i 1
u
) N exp(
u
i 1
N
i
u
),
ln L N ln u
1
u
u ,
i 1 i
N i 1
N
max ln L min u i
• 如果假设
u i服从正态分布，则二次规划“估计”
u exp( ), 2 2 u 2 u 2
1 2
N
2 u i 1
基于这一思想，Aigner 和Chu (1968) 提出了前沿生产函
数模型，将生产者效率分解为技术前沿(technological
frontier) 和技术效率(technical efficiency) 两个部分,前
者刻画所有生产者投入—产出函数的边界(frontier of the
production function) ；后者描述个别生产者实际技术与 技术前沿的差距。 确定性前沿生产函数模型如下：
Y f ( X ) exp(u )
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和1之间，反映 了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的 距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计 其参数，如下所述。 假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的投入向量 来生产出单一产出
y i ，生产函数采用C-D形式：
f ( X ) exp(v) 为上限；随机误差V可正可负，因此，随机前
沿产出围绕着模型的确定部分
变动。
u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立 同分布的半正态随机变量或指数随机变：
Lnyi 0 n n ln X ni vi ui
H0 : 0 H1 : 0
2. 技术效率的测度 2.1.1 确定性生产边界
测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法 (SRA) ,其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产 效率,从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部 归结为技术进步( technological progress) 的结果,这 部分索洛剩余后来被称为全要素生产率(李京文等 1998) 。 然而,SRA 法的理论假设不完全符合现实,因为现实经 济中大部分生产者不能达到投入—产出关系的技术边 界(Farrell ,1957) 。
就是最大似然估计：
f (ui )
N
2 i
L f (ui ), ln L C
i 1
u
2 i
N
2 i
,
max ln L
• 其中C代表常数

min u
i 1
上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基
础，但这些计算的参数
有标准差。

仍然像估计的参数那样
2.修正最小二乘法（COLS） 它分为两步：
随机前沿分析
Stochastic Frontier Analysis
一、导言
1.1 随机前沿方法简介
在经济学中，技术效率的概念应用广泛。 Koopmans首先提出了技术效率的概念，他将技术有效 定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就 不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减 少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。Farrell首 次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的 广泛认同，成为了效率测度的基础 。
采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前沿生产函数把 影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一 个误差项ε中, 并将其称为生产非效率. 随机前沿生产函数( Stochastic Frontier Production Function)在确定性生产函数的基础上提出了具有复合 扰动项的随机边界模型。其主要思想为随机扰动项ε应 由v 和u 组成, 其中v 是随机误差项, 是企业不能控制的 影响因素, 具有随机性, 用以计算系统非效率; u是技术 损失误差项, 是企业可以控制的影响因素, 可用来计算技 术非效率。 参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性, 也反 映了样本计算的真实性。
前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参方法。两 者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函 数的估计思想, 主要运用最小二乘法或极大似然估计法 （解释）进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具 体的函数形式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行 计算; 而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一个包 含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中非参数方法 的有效性是指以一定的投入生产出最大产出, 或以最小的 投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合 DEA(Data 数据包络分析) 计算的。
第一步，先用OLS估计（1）式：
Ln( yi ) x ui , i 1, 2,, N
得到一致和无偏的斜率参数
1 , k ，以及一致和
有偏的截面参数 0 。
第二步，有偏的截距参数
0
被修正以保证估计
的前沿是所有数据的上界：
* ˆ ˆ max u ˆ 0 0 i i,
（2）
在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法 （ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数 和误差项 vi ui ，进而得到技术效率 TEi exp(ui ) ，如下所述。
1.正态——半正态模型的ML估计 假设： （1） v iidN (0, 2 )
i v
（2）
ui iidN (0, )
这种方法比传统的生产函数法更接近于生产和经济增 长的实际情况。能够将影响TFP的因素从TFP的变化 率中分离出来，从而更加深入地研究经济增长的根源。 利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer （1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli 1988，1992，1995）等对技术效率对TFP和 产出的影响做了大量的实证研究。
生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方法 的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平 面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点，
是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产
率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个
问题。
前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映 了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企业各投 入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实 际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合 效率。 传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之 间的关系, 称之为平均生产函数。但是1957 年, Farrell 在 研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数 (Frontier Production Function)的概念。对既定的投入 因素进行最佳组合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经 济学中所说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。前沿 面是一个理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。
2
u v f (u, v) exp( 2 2 ) 2 u v 2 u 2 v 2 2 2 u ( u) f (u, ) exp( 2 ) 2 2 u v 2 u 2 v
2
2
2
f ( )

0
2 f (u, )du ( )exp( 2 ) 2 2
TEi yi exp( xi ) exp( xi ui ) exp( xi ) exp(ui )
（2）
TEi 是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1之间，
它是观察到的产出 的公司生产的 出。
y i 与使用同样投入并且由技术有效
exp( xi ) 之比，参数 由下述方程得
1.目标规划方法
min ui min ( xi Lnyi )
N
N
（3）
s.t.
i 1
i 1
ui xi Lnyi 0
i 1, 2, , N
参数
可以由下列二次规划问题计算得出：
N 2 i N 2
min u min ( xi Lnyi )
Q f ( X ) exp(v u )
（1）
其中v表示统计噪声（来源于所忽略的与x相关的变量，
测量误差和函数形式选择所带来的近似误差）的对称随机
误差项，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，
具有0均值和不变方差。
f ( X ) exp(v) 代表随机前沿生产函数，产出以随机变量
1.2 发展史简要回顾
20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（P·Douglas） 与数学家柯布（C·Cobb）合作提出了生产函数理论， 开始了生产率在经济增长中作用的定量研究。称其为 技术进步率，这些未被解释部分归为技术进步的结果， 称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称为 “增长余值”（或“索洛值”），也即为全要素生产 率（TFP）的增长率。 1977年，Aigner，Lovell，Schmidt 和 Meeusen， Van den Broeck分别独立提出了随机前沿生产函数， 之后逐渐发展起来的随机前沿生产函数法则允许技术 无效率的存在，并将全要素生产率的变化分解为生产 可能性边界的移动和技术效率的变化.
2 u
（3） vi 和 u i 的分布相互独立，且与解释变 量相互独立。 u ,v的密度函数以及u 和v的联合密度函数， u和 v u 的联合密度函数分别是:
f (u)
2 u exp( ) 2 2 u 2 u
2
f (v)
1 v exp( ) 2 2 v 2 v
2
特定厂商效率
TEi E(expui | qi )
1 ( * *i * ) 1 2 exp *i * , 2 1 ( *i * )