“根的判别式”的种种应用
学习了一元二次方程的求根公式以后，为了研究问题的方便，我们把一元二
次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式x＝
a ac
b b
2
4 2-
±
-
中的b2－4ac称做为根的判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根的判别式来判别根的情况.而事实上，一元二次方程根的判别式还许多其它的应用，为方便同学们的学习，现举例说明.
一、不解方程，判断根的情况
例1已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.…①
（1）若x＝－1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由.
解（1）因为x＝－1是方程①的一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1.
所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程的另一根为x＝2.
（2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0，
所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根.
说明运用根的判别式时，必须注意化方程为一元二次方程的一般形式，明确a，b，c的值.
二、确定字母系数的范围
例2已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是＿＿＿.
解因为于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1.
说明利用根的判别式解题时，若原一元二次方程的二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件的限制.
三、字母系数的值
例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x+m－1
2
＝0有两个相等的
实数根？此时这两个实数根是多少？
解 因为关于x 的一元二次方程x 2－4x +m －
12
＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(－4)2－4(m －12)＝0，即16－4m +2＝0，解得m ＝92
. 当m ＝92时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝2. 说明 利用方程有等根来解决具体的问题是中考的一个热点，同学们一定要注意体会并熟练地运用.
四、判断三角形的形状
例4 已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2+bx +4
a c -＝0有两个相等的实数根，试判断以a ，
b ，
c 为三边长的三角形的形状，并说明理由.
解 因为关于x 的一元二次方程(a +c )x 2+bx +
4a c -＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝b 2－4×(a +c )×4
a c -＝
b 2－a 2+
c 2＝0，即b 2+c 2＝a 2， 所以以a ，b ，c 为三边长的三角形是直角三角形.
说明 这里运用根的判别式时，无需强调二次项系数问题，这是由于a ，b ，c 为某一三角形三边的长，另外，应注意勾股定理的逆定理的运用.
五、确定整数解
例5 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4＝0与x 2－4mx +4m 2－4m －5＝0的根都是整数.
解 因为给定的关于x 的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m ≠0.
又由于方程均有实数根，所以Δ1＝(－4)2－4m ×4≥0，解得m ≤1.
Δ2＝(－4m )2－4×1×(4m 2－4m －5)≥0，解得m ≥－
54， 所以－54
≤m ≤1，又m 是整数，且m ≠0，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，方程mx 2－4x +4＝0变形为x 2－4x +4＝0，
解得方程的根为x ＝－2±，它的根不是整数，故m ＝－1舍去.
当m ＝1时，方程mx 2－4x +4＝0的两个根为x 1＝x 2＝2；
方程x 2－4mx +4m 2－4m －5＝0根为x 1＝5，x 2＝－1，均为整数，所以m ＝1. 说明 本题设虽然比较简单，但求解起来还是比较麻烦，应根据方程整数系
数和整数根的特点，注意分类讨论.。