根的判别式的深化应用一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），它的解的情况由b 2－4ac 的取值决定，我们通常用“∆2-，即ac b 42-=∆。

方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况 =∆b 2－4ac ＞0 两个不相等的实数根=∆b 2－4ac ＝0 两个相等的实数根=∆b 2－4ac ＜0 没有实数根方法归纳：用b －4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b 2－4ac 的取值。

二、根的判别式的应用1. 判断一元二次方程根的情况。

2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。

3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。

方法归纳：（1）计算=∆b 2－4ac 时注意a 、b 、c 表示各项系数，包括它们前面的符号；（2）关于根的判别式=∆b 2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表示=∆b 2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定=∆b 2－4ac 的正、负号。

总结：1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。

2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。

例题1 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋（m －2）＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。

这里a ＝1，b ＝－m ，c ＝m －2。

因为b 2－4ac ＝（－m ）2－4×1×（m －2）＝m 2－4m ＋8＝m 2－4m ＋4＋4＝（m －2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。

答案：A点拨：判断b 2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的取值范围，依此确定判别式∆的取值范围；（2）一般要将表示b 2－4ac 的代数式进行配方，利用偶次幂的非负性确定b 2－4ac 的正、负号。

例题2 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A. a ＝cB. a ＝bC. b ＝cD. a ＝b ＝c解析：由方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0可知方程的解为x ＝1，然后由方程解的情况建立a 、b 、c 之间的数量关系。

答案：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－（a ＋c ）。

因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝0，把b ＝－（a ＋c ）代入，得：[－（a ＋c ）]2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－4ac ＝0。

所以a 2－2ac ＋c 2＝0，即（a －c ）2＝0。

所以a ＝c 。

故选A 。

点拨：解此类型问题，首先要明确所给定义的含义，然后用定义去考量已知条件，依据定义或定义提供的方法解题。

例题3 已知关于x 的方程kx 2－5x ＋2＝0有实数根，求k 的取值范围。

解析：本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程，因此应对二次项系数a 的取值进行分类讨论。

答案：当k ＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数根。

当k ≠0时，方程为一元二次方程，且a ＝k 、b ＝－5、c ＝2。

所以∆＝b 2－4ac ＝（－5）2－4×k ×2＝25－8k 。

当25－8k ＞0，即k ＜258且k ≠0时，方程有两个不相等的实数根； 当25－8k ＝0，即k ＝258时，方程有两个相等的实数根； 当25－8k ＜0，即k ＞258时，方程无实数根。

综上所述，k 的取值范围是k ≤258。

点拨：从数学方法的角度看，本题属于分类讨论型问题，而且需要讨论两点：一是此方程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况；二是一元二次方程有实数根可分为有两个相等的实数根和两个不相等的实数根。

一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根，而且可以判断出方程有没有有理根。

不难理解，只要∆＝b 2－4ac 是一个有理数的完全平方数（或开平方开得尽），原方程的根就一定是有理数。

要判断一个一元二次方程的根是不是整数可结合x ＝－b ±b 2－4ac 2a来确定。

例题 边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x 2－（k ＋2）x ＋4k ＝0的两根，求k 的值，并确定直角三角形三边之长。

解：因为方程的根为整数，故∆＝（k ＋2）2－16k 为完全平方数。

设（k ＋2）2－16k ＝n 2，∴k 2－12k ＋4＝n 2，∴（k －6）2－n 2＝32，∴（k ＋n －6）（k －n－6）＝1×32＝2×16＝4×8。

∵k ＋n －6＞k －n －6，∴⎩⎨⎧k ＋n －6＝32k －n －6＝1或⎩⎨⎧k ＋n －6＝16k －n －6＝2或⎩⎨⎧k ＋n －6＝8k －n －6＝4。

45 2（舍去），k2＝15，k3＝12。

解得k1＝当k ＝15时，有x 2－17x ＋60＝0，解得x ＝5或12，则斜边c ＝13；当k ＝12时，有x 2－14x ＋48＝0，解得x ＝6或8，则斜边c ＝10。

所以这个直角三角形三边长分别为5、12、13或6、8、10。

分析：解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长，因为直角三角形的边长为整数，所以已知方程有两个整数根。

一元二次方程有整数根至少要求判别式为有理数的完全平方数。

（答题时间：45分钟）一、选择题1. 关于x 的方程x 2－kx ＋k ＝2的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2－3x ＋1＝0B. x 2＋1＝0C. x 2－2x ＋1＝0D. x 2＋2x ＋3＝03. 对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2（k ＋1）x －k 2＋2k －1＝0的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定4. 已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x －1）2＝b 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有两个实数根*5. 若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. k ＞－1B. k ＜1且k ≠0C. k ≥－1且k ≠0D. k ＞－1且k ≠0**6. 如果关于x 的方程x 2＋4x ＋10－a ＋2＝0有两个有理根，那么所有满足条件的正整数a 的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题*7. 若5k ＋20＜0，则关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0的根的情况是__________。

*8. 若关于x 的一元二次方程kx 2＋4x ＋3＝0有实数根，则k 的非负整数值是__________。

*9. 若︱b －1︱＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是__________。

**10. 如果关于x 的方程x 2＋kx ＋34k 2－3k ＋92＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，那么x 12012x 22013的值为__________。

三、解答题11. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m －12＝0有两个相等的实数根，此时这两个实数根是多少？12. 关于x的方程x2－（2a－1）x＋（a－3）＝0，试说明无论a取任何实数，方程总有两个不等实数根。

*13. 已知关于x的方程x2＋2（a＋1）x＋（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝0有实数根，求a、b 的值。

**14. 已知一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5。

当△ABC 是等腰三角形时，求k的值。

**15. 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。

一、选择题1. A 解析：因为b 2－4ac ＝k 2－4（k －2）＝k 2－4k ＋8＝（k －2）2＋4＞0，所以原方程有两个不相等的实数根。

2. A 解析：依据判别式进行判断即可，选项A 中∆＞0，选项B 中∆＜0，选项C 中∆＝0，选项D 中∆＜0。

3. C 解析：∆＝4（k ＋1）2－4（－k 2＋2k －1）＝4k 2＋8k ＋4＋4k 2－8k ＋4＝8k 2＋8＞0，所以原方程有两个不相等的实数根。

4. C 解析：本题不必利用判别式，根据二次幂的意义判断即可。

*5. D 解析：根据题意可知，（－2）2－4k ×（－1）＞0，即k ＞－1。

且当k ＝0时原方程为一元一次方程，不符合题意，所以k ＞－1且k ≠0。

**6. B 解析：根据题意得42－4（10－a ＋2）＝8－410－a 是一个有理数的完全平方数。

又10－a ≥0，即a ≤10，因为a 是正整数，显然，当a ＝1、6、9、10时10－a 是有理数，其中a ＝6、9时8－410－a 是一个有理数的完全平方数。

所以a ＝6或9。

二、填空题*7. 没有实数根 解析：由5k ＋20＜0得k ＜－4。

此时∆＝42＋4k ＜0，所以原方程没有实数根。

*8. 1 解析：由题意可得∆＝42－4k ×3＝16－12k ≥0，即k ≤43，所以k 的非负整数值是1。

*9. k ≤4且k ≠0 解析：∵︱b －1︱＋a －4＝0，∴b －1＝0，a －4＝0，解得b ＝1，a ＝4。

又∵一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，∴∆＝a 2－4kb ≥0且k ≠0，解得k ≤4且k ≠0。

**10. －23 解析：根据题意，关于x 的方程有两个实数根，则∆＝k 2－4（34k 2－3k ＋92）≥0，即（k －3）2≤0。

又因为恒有（k －3）2≥0，所以（k －3）2＝0，解得k ＝3。

此时方程为x 2＋3x ＋94＝0，解得x 1＝x 2＝－32。

故x 12012x 22013＝1x 2＝－23。

三、解答题11. 解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，∴（－4）2－4（m －12）＝0，即16－4m ＋2＝0，m ＝92，当m ＝92时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝2。