t
C(s) b 0 s m b1s m 1 ... b m 1s b m B(s) R (s) D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n B(s) a 0 (s p i ) [s ( j j j )][s ( j j j )]
i 1 j1 K k
扰动：
理想脉冲函数作用下 R(s)=1 R( ) 1
k r js j c B(s) R (s) i D(s) s p i 1 j1 [s ( j j j )][s ( j j j )] i
该系统就是稳定的。 古典控制理论 判别系统稳定的充要条件
例: 一个弹簧－质量－阻尼 器系统，如图示。系统的运 动由如下微分方程描述。
kx 0 m x f x
设 m 1
kx 0 x f x
选取位移和速 度为状态变量 则系统的状态方程为
j
P3
P1 P2
S平面
O
P5
P4

Pn
2
系统稳定的必要条件
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部 或者说: 闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半 部分（不包括虚轴）
D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n 0
劳斯判据 奈魁斯特判据 对数判据（波德图判别） 根轨迹判据 相平面法(适用于一，二阶非线性系统)
第二节 李雅普诺夫稳定性定理
稳定性的判别拓广到多 输入多输出系统、非线 性系统等
主要内容： • 李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值 • 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 李氏函数，进而判别系统的稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 ，都对应存在 另一个实数 ( , t0 ) 0 ，满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t ; x0 , t0 ) ，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
1）是李氏意义下的稳定 2）lim x(t ; x0 , t0 ) xe 0 渐进稳定
与t0无关 一致渐进稳定 致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性 对任意 x0 s ( ) 都有 lim x(t ; x0 , t0 ) xe 0
t
t
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定。
0 1 t n 0
Ax x
Re(i ) 0
x(0) x0
t0
李氏稳定的充要条件：
i 1,2, n
控制理 论的稳 定性判 别思路 是一致 是 致 的
x(t ) e At x(0) e
e 1t 0 x(0) x(0) n t 0 e
稳定与不稳定系统的直观示例
d
f


A
c
f
A
A'
A
f
不稳定系统
小范围稳定系统
摆运动示意图
图a为稳定的系统。 图b为不稳定系统。 图c中， 中，A A点小球若超出 点小球若超出C C、D范围就不再能稳定回复，故 可以认为该系统在局部领域范围内是稳定的。
工程中控制系统不稳定时 的现象特征 第一节
系统不受控，输入指令不起作用 严重振荡，机械振荡时易导致毁损设备 机电工程中满足稳定比性能优化要相对容易
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 C (t ) ，系统是 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim t 不稳定的。 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其 余的特征根均有负实部，则 余的特征根均有负实部 则 C（ t）趋于常数或作等幅振荡， 趋 常数或作等幅振荡 这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳 定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也 是不能正常工作的。临界稳定的系统在古典控制理论上属 于不稳定系统。 所讨论系统一般为单输入单输出系统
线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定
经典控制理论( 线性系统) Lyapunov意义 下
大范围渐进稳定？
5
三、李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 与古典 线性定常系统稳定性的特征值判据： 时域解析解的稳定性理解：
4
2.渐近稳定
则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 时变系统： 与 t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。 注意： ——向量范数(表示n维空间距离)
x xe [( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne ) ]
2 2 2 1/ 2
系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数
例：判别系统的稳定性
稳定性仿真分析实例：某伺服系统模型
K 2 h
s(
T1 H0
_ _
s2
h 2

h
s 1)
考虑： 哪些参数会影 响稳定性？
Kp
km s (Tm s 1)
K1
T2
K0 s
H
D ( s ) s 2 ( Tm s 1) K p K m K 1 K 0 0
3
4.线性系统
一、现代控制理论中的相关基本概念 1.自由系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
Ax x
A非奇异：
x Rn
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
Axe 0 xe 0
A奇异：
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：

Axe 0 有无穷多个 xe
e f ( xe , t ) 0 x
xe 系统的平衡状态
线性系统和非线性系统最明显 的区别法： 线性系统遵从叠加原理，而非 线性系统不然。 叠加原理的例子： f(x)=2x，f(y)=2y， f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y) 反例 反例： f(x)=2x2，f(y)=2y2 f(x)+f(y)=2(x2+y2)； 但：f(x+y)=2(x+y)2 ≠f(x)+f(y) 换句话说：线性系统的表达式 中只有状态变量的一次项，无 高次项、三角函数项等. 只要有任意一个非线性环节就 是非线性系统。
c
f
d
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
A 小范围稳定系统
令
1 0 x
xe1

2 0 x
0 xe2 1

0 xe3 1
0 0

平衡状态的进一步认识
对于线性定常系统 x’=Ax 平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个平衡状态 xe=0; 当A为奇异时,则存在无限多个平衡状态 对于非线性系统,通常可有一个或几个平衡状态,它们分别为 对应于式f(x,t)0的常值解。
设系统特征根为p1、p2、…、pn-1、pn
n a1 ( 1)1 p i a0 i 1 n a2 ( 1) 2 p i p j a0 i2
各根之和 取两根乘积之和 全部根具有负实部
n a3 ( 1) 3 p i p j p k 取三根乘积之和 a0 i 3 n an (1) n p i 各根之积 a0 i 1
系统特征方程 D(s) a 0 (s p i ) [s ( j j j )][s ( j j j )] 0
i 1 j1 K k
上面分析表明： 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
5.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
例：
李雅普诺夫稳定性理论讨 论的是动态系统各平衡状态 附近的局部稳定性问题。 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后都 趋于该平衡态,则称该平衡 态是渐近稳定的;若发散则 为不稳定 由于非线性系统的李雅普诺 夫稳定性具有局部性特点,因此 在讨论稳定性时,通常还应指明 是针对哪个平衡状态的。
机电控制与物流装备研究所 王旭永 xywang@ 34206053 机械楼807
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
关于稳定性问题
稳定是自动控制系统正常工作的首要基 础 机电领域中，什么样的系统具有稳定性 问题？ 稳定的评价指标（稳定或不稳定；稳定 裕量；时域响应的波动程度，等等）
系统的传递函数：
根据上述稳定性的定义，可以用 (t ) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 (t ) ，即:系统在零平衡状态下， 受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于无穷时， 系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态， 即 lim C (t ) 0
当h p K m K 1 K 0 0
3 2
无论怎样调整系统的参数，（如K、Tm）都不能使系统稳定
结构不稳定系统
s 3 2 0 .3 2 s sK 0 40 2 40
0 K 2 0.3 40
古典控制理论中的相关稳定性判据：
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 系统矩阵A的特征值是怎么求解得到的？ 同为古典传递函数中特征 方程的根，为什么？ |sI－A|＝0