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二、 Lyapunov 稳定性判别
推论
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1 V ( x)是正定的； ） & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是负定的； 2) V x ∂x 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。
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一、Lyapunov 稳定性概念
S(ε)
xe x0
Rn中的距离 || x − y ||= ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + L+ ( xn − yn )2
2 2 Rn中的范数：x ||= x12 + x2 + L + xn ||
S(δ)
x(t )
解 : (1)寻找平衡点 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ − x1 − x2 = 0 x2 = 0 2 (2)选择李亚普诺夫函数V ( x) = x12 + x2 (3)稳定性判断 2 & & & V ( x)正定,V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 半负定.
状态向量 xe是平衡状态当且仅当它满足 f ( xe ,t ) = 0
& • 线性系统 x = Ax 的平衡状态：方程Axe = 0 的解xe 的平衡状态：
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
例: 单摆
两个平衡点
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型 二次型Lyapunov函数
V ( x) = V ( x1 ,L , xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 xn + L 2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
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二、 Lyapunov 稳定性判别
4、 Lyapunov渐近稳定性判别定理 、 渐近稳定性判别定理 渐近
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 ） 1 V ( x)是正定的； & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是半负定的； 2）V ∂x & 3）集合{x ∈ R n | V ( x) = 0}不包含系统的除平衡点以外的状态轨迹。 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。 进一步，若V ( x)是半径无穷大的，则平衡点xe = 0 是Lyapunov全局渐近稳定的
一个标量函数V : R n → R称为Lyapunov函数，如果满足 1）V ( x)是正定的； ∂V ( x) ∂V ( x) ∂V ( x) 2）V ( x)具有连续的偏导数 = L . ∂x ∂xn ∂x1 一个Lyapunov函数称为半径无穷大的，如果
它进一步满足 3）当|| x ||→ ∞时， ( x) → ∞. V
例如：匀速直线运动 的物体的动能为 1 mv 2 , 2 匀速旋转运动物体的 动能为 1 mω 2。 2
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= [ x1
x2
a11 a L xn ] 21 M an1
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 M O M M an 2 L ann xn
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
研究单摆在(0,0)点的稳定性 例: 研究单摆在 点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) = (1 − cos x1 ) + l 2 (2) 稳定性判断
V ( x)正定 & ( x) = g sin x V 1 l
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一、Lyapunov 稳定性概念
5、Lyapunov 不稳定 、
& x = f ( x)的平衡点xe为Lyapunov不稳定的，如果存在
ε > 0,对任意δ > 0,都有初始状态满足 || x(t0 ) − xe ||< δ的 运动轨迹x(t )，在某个时刻t1使得 || x(t1 ) − xe ||≥ ε .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
– 特征值判据
1) A 正定 ⇔ A 的特征值均为正数 ２ A 负定 ⇔ A 的特征值均为负数 ) ３ A 半正定 ⇔ A 的特征值均为非负数 ) ４ A 半负定 ⇔ A 的特征值均为非正数 )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
稳定性判据 四．离散时间线性系统的 稳定性判据
间接法判据， 间接法判据，直接法判据
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
1、平衡状态（平衡点） 、平衡状态（平衡点）
• 在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称 在没有= f ( x, t ) 的平衡状态的计算
x(t ) = xe
S(ε)
x2
S(δ)
xe
t
x1
t
0
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一、Lyapunov 稳定性概念
4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义 、 大范围（ 大范围 全局）渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； 3）条件 ）对于任意初始状态成立。 ）条件2）对于任意初始状态成立。
x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0
& x4 = {∆ ( M + m)mgl}x3
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−1
一、Lyapunov 稳定性概念
2、 Lyapunov 稳定性定义 、
& xe称为系统 x = f ( x)的Lyapunov稳定平衡点，如果对任意 运动轨迹x(t )，只要初始状态离xe很近，整个轨迹就不会 远离平衡点xe .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型函数的定号的判断
– Sylvester判据 判据
设∆ ik 为矩阵A的各阶顺序主子式，即 a11 ∆1 = a11 , ∆ 2 = a21 a11 L a1n a12 ,L, ∆ n = M O M a22 an1 L ann
1) A 正定 ⇔ ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ２ A 负定 ⇔ (−1) k ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ) 3) A 半正定 ⇔ ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n ４ A 半负定 ⇔ (−1) k ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n )
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x2 k 2 x2 g = − x2 半负定。 k m − l sin x1 − m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
& x1 = x2 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 & x2 = − x1 − x2 方法判断其稳定性.
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
2 & x1 = x2 − x1 ( x12 + x2 ) 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 2 & x2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 ) 方法判断其稳定性.
对称矩阵
= xT Ax
二、 Lyapunov 稳定性判别
• 标量函数的定号性
1) V ( x)正定： V ( x) > 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 2) V ( x)半正定： V ( x) ≥ 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 3）V ( x)负定： 若 −V ( x)正定 4）V ( x)半负定：若 −V ( x)半正定
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析 Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性, 稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 稳定性判据 稳定性判据, 据,全局渐近稳定性判据 间接法判据， 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
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一、Lyapunov 稳定性概念
3、 Lyapunov 渐近稳定性定义 、 渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态： limt →∞ ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：
通过构造一种广义能量函数（称为 函数） 通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数）并利 用系统向量场f(x)来判断。 来判断。 用系统向量场 来判断